De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Gonio identiteit

ik probeer de volgende identiteit te bewijzen:
sin3a = 4sinasin(p/3 +a) . sin(p/3 -a)
ik heb al geprobeerd van de som en verschilformules op de twee sinussen toe te passen en dan bekom ik een merkwaardig product maar verder raak ik niet meer
miss weet iemand de verdere oplossing ?
thx

jos
3de graad ASO - zondag 15 februari 2004

Antwoord

Hoi,

Eerst ga ik sin(3x) herschrijven, want da's hetzelfde als sin(2x+x). Dit kunnen we anders schrijven door de somformule van Simpson te gebruiken.
Ter informatie sin(2x) = 2sin(x)∑cos(x) en cos(2x)=cos2(x) - sin2(x) (de zogeheten verdubbelingsformules).

sin(2x + x) = sin(2x)∑cos(x) + cos(2x)∑sin(x)
= 2sin(x)cos(x)∑cos(x) + (cos2(x)-sin2(x))∑sin(x)
= 2sin(x)cos2(x) + cos2(x)sin(x) - sin3(x)
= 3sin(x)cos2(x) - sin3(x).

Nu moeten we laten zien dat het rechterlid hetzelfde is als het linkerlid.

4sin(x)∑sin(1/3p+x)∑sin(1/3p-x)
= 4sin(x)∑(sin(1/3p)∑cos(x) + cos(1/3p)∑sin(x))∑(sin(1/3p)∑cos(x)-cos(1/3p)∑sin(x))
= 4sin(x)∑(1/2÷3∑cos(x) + 1/2sin(x))∑(1/2÷3∑cos(x)-1/2sin(x))
En het cursieve gedeelte is van de vorm (a+b)(a-b) = a2 - b2 dus...
= 4∑sin(x)∑((1/2÷3∑cos(x))2 - (1/2∑sin(x))2)
= 4∑sin(x)∑(3/4∑cos2(x) - 1/4∑sin2(x))
= 4∑sin(x)∑3/4∑cos2(x) - sin3(x)
= 3∑sin(x)∑cos2(x) - sin3(x)

Ik hoop dat alles duidelijk is, zo niet reageer dan direct.

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 15 februari 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb