De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Insluitingsstelling

goeiedag,

hoe kun je bewijzen dat de limiet van sin x / x gelijk is aan 1?

gotela
Student Hoger Onderwijs BelgiŽ - dinsdag 13 januari 2004

Antwoord

Aanpak 1

Zie onderstaande figuur
q18850img1.gif
hoek POS=t
De straal van de cirkel is 1
QS^OS
De oppervlakte van driehoek OSP=1/2OS*OP*sin(t)=1/2sin(t)
De oppervlakte van sector OSP=t/(2p)*Opp cirkel=1/2t
De oppervlakte van driehoek OSQ=1/2*tan(t)=1/2*sin(t)/cos(t)

opp driehoek(OSP)opp sector(OSP)opp driehoek(OSQ),

dus 1/2sin(t)1/2t1/2sin(t)/cos(t)
Vermenigvuldigen met 2 en omkering van de termen geeft:
1/sin(t)1/tcos(t)/sin(t)
Vermenigvuldigen met sin(t) (t0) geeft:
1sin(t)/tcos(t).
Deze ongelijkheid geldt ook voor -1/2pt0,
want cos(-t)=cos(t)
en sin(-t)/-t=-sin(t)/-t=sin(t)/t
omdat cos(t) tot 1 nadert als t nadert tot nul geldt nu volgens de insluitstelling de gevraagde limiet.

aanpak 2

Kies f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x).
f'(0)=1
limtģ0(f(t)-f(0))/(t-0)=f'(0)=1

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 januari 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb