De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Moeilijke limiet

Ik vind niet hoe deze limiet uit te werken : vooral door die natuurlijke logaritmen

lim[ln(ln(1+x4))/ln(ln(1+x2)),x«0].

Yvonne
Student Hoger Onderwijs BelgiŰ - dinsdag 13 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Neem f(x)=ln(ln(1+x4)) en g(x)=ln(ln(1+x2)). Je wil L=lim(f(x)/g(x),x«0) berekenen.

Omdat lim(f(x),x«0)=lim(g(x),x«0)=0 mogen we de l'H˘pital toepassen: L=lim(f'(x)/g'(x),x«0).

Welnu:
f'(x)=
1/ln(1+x4).[ln(1+x4)]'=
1/ln(1+x4).1/ln(1+x4).[1+x4]'=
4x3/ln2(1+x4)
en
g'(x)=
1/ln(1+x2).[ln(1+x2)]'=
1/ln(1+x2).1/ln(1+x2).[1+x2]'=
2x/ln2(1+x2)

Dus is f'(x)/g'(x)=2x2.ln2(1+x2)/ln2(1+x4)... Nog altijd een 0/0 geval voor x«0, maar de buitenste laag van ln() is er toch af.

We noemen M=lim[x.ln(1+x2)/ln(1+x4),x«0], dan is L=2.M2.

We hernoemen f(x)=x.ln(1+x2) en g(x)=ln(1+x4), zodat:
f'(x)=1.ln(1+x2)+x.1/(1+x2).2x=ln(1+x2)+2x2/(1+x2) en g'(x)=4x3/(1+x4).
Ook hier is lim[f'(x)/g'(x),x«0] een 0/0 geval en kunnen we de l'H˘pital nog eens toepassen... Veel rekenen, maar het gaat er wel op vooruit: de ln(x) worden telkens verdreven en uiteindelijk krijgen we een rationale vorm waarvan we de limiet zeker kunnen berekenen. Vanaf hier laat ik het aan jou

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 januari 2004


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb