De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Driehoekige stapeling - sum(i^k)

Er is een driehoekig grondvlak en voor een stapeling van 4 hoog zijn 10 + 6 + 3 + 1 = 20 kogels nodig. Voor deze getallen heb ik al gevondfen dat per laag geldt: 1/2n (n +1) Nu moet ik een formule vinden waarmee ik het aantal kogels kan uitrekenen in een piramide van n lagen hoog. ik heb het al geprobeerd met een Somformule in de vorm Sn = 1/2 n (u1 + u n) = Sn 1/2 n (1 + (1/2n 9n + 1)) maar dan kom ik niet op d (n)= 1/6 n3 = 1/2 n2 + 1/3n en dat is het juiste antwoord. Alleen weet ik dus niet hoe ik daaraan kan komen.

marina
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 17 oktober 2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt het voor een deel correct. Je had het mis waar je Sn=n.(u1+un)/2 veronderstelt. Deze formule geldt enkel voor rekenkundige rijen.

Een andere poging dan maar. Op de i-de laag vinden we Li=i.(i+1)/2=(i2+i)/2 kogels. Als er zo n lagen zijn, dan wil je eigenlijk Pn=sum(Li:i=1..n)=[sum(i2:i=1..n)+sum(i:i=1..n)]/2.

Het stukje sum(i:i=1..n) is een rekenkundige rij en hiervoor vind je makkelijk: sum(i:i=1..n)=n.(n+1)/2

Voor sum(i2:i=1..n) doen we het iets anders omdat er hier geen kant-en-klaar formuletje voor bestaat. We bekijken Sn =(xn-1)/(x-1)=sum(xi:i=0..n-1) zodat x.Sn =x.(xn-1)/(x-1)=sum(xi:i=1..n) en zodat d[x.Sn]/dx=sum(i.xi-1:i=1..n) en uiteindelijk: sum(i.xi:i=1..n)=x.d[x.Sn]/dx. Op dezelfde manier verder rekenend, kunnen we een uitdrukking afleiden voor sum(i2.xi:i=1..n) en wanneer we van beide leden de limiet voor x $\to$1 nemen, vinden we een uitdrukking voor sum(i2:i=1..n).
Deze aanpak laat je toe alle uitdrukkingen van de vorm sk(n)=sum(ik:i=1..n) in gesloten vorm te schrijven. Bij Dr.Math vond ik ooit een andere aanpak hiervoor, gebaseerd op de vaststelling dat sk(n) een veelterm van graad k+1 is in n en de techniek van de onbepaalde coŽfficiŽnten.

Nog anders kan je die formule per inductie bewijzen, maar dan moet je eigenlijk beginnen met het resultaat... Niet zo constructief dus. Je vindt een uitwerking op Dr.Math.

Tot slot kan je de formule heel makkelijk afleiden uit de driehoek van Pascal. De opeenvolgende schuine zijden bevatten sommen van de voorgaande zijden. De buitenste bevat enkel 1, de tweede de natuurlijke getallen, de derde de termen van L en de vierde de termen van P. Je kan je onmiddellijk aflezen dat Pn=C(n,3)=n.(n-1).(n-2)/6

Je kan ook best eens zoeken op deze site naar Bolstapeling.

Groetjes,
Johan

(met dank aan Fvl, GM en Anneke voor hun suggesties )

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 24 oktober 2003


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb