De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vergelijkingen

1.hoe kun je met complexe getallen alle tweedegraadsvergelijkingen oplossen (dus met name degene waarbij discriminant negatief is)??
2.kunt u een voorbeeld geven van een vergelijking: ax3+bx2+cx+d=0 waarvan de drie oplossingen niet alledrie reeel zijn (met uitwerking)???

Brian
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 31 augustus 2003

Antwoord

Hi Brian,

In de abc-formule wordt de wortel van de disciminant getrokken. Als de dicriminant negatief is, gaat dat dus niet. Ik redeneer altijd als volgt (D=discriminant):
-Op de plaats van D komt een getal z waarvoor geldt dat z2=D.
-Dus (iz)2=-D.
-Als D0 dan is -D een positief getal. Nu kunnen we dus aan beide kanten wortel trekken:
iz=(-D) z=(-D)/i
-Beide kanten met i vermenigvuldigen geeft z=-i(-D)
-Nu zijn de uitkomsten x=(-bz)/(2a), dus x=(-b-i(-D))/(2a)
Door de kunnen we de - voor de i natuurlijk weglaten

Het is natuurlijk niet handig deze procedure steeds te bedenken. In de praktijk maak je de discriminant gewoon positief, en zet je een i voor de wortel. De vergelijking x2+2x+2=0 heeft dus oplossingen
x=(-2i4)/2, dus x=i-1 of x=-i-1.

Dan je tweede vraag. De vergelijking x3+2x2+2x=0 heeft 3 oplossingen waarvan 1 reeel. Deze reele oplossing zien we natuurlijk meteen: x=0. Dit stelt ons in staat de vergelijking als volgt op te schrijven: x(x2+2x+2)=0. Nu weten we x=0 of x2+2x+2=0, deze laatste vergelijking hebben we al opgelost en heeft oplossingen x=i-1 en x=-i-1; en dat zijn de twee niet-reele oplossingen van de vergelijking.

groet,

Casper

cz
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 31 augustus 2003
 Re: Vergelijkingen in[C] 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3