De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Het oplossen van een derdegraadsvergelijking

 Dit is een reactie op vraag 13479 
Hoi,
Wij moeten een derdegraads vergelijking oplossen met minimaal 1 complex antwoord. Misschien kunt u hier nog even naar kijken en ons uitleg geven. Bedankt.
Jolanda

Joland
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 18 augustus 2003

Antwoord

Ik begrijp het... laten we eens een voorbeeld doen.

Los op: x3-9x2+31x-39=0
Als de grafiek tekent met je GR:

q13524img1.gif

Het lijkt er op dat x=3 een oplossing is. Dus gaan we weer 'gezellig' een staartdeling maken:
x-3/x-9x+31x-39\x-6x+13
x-3x
------ -
-6x+31x-39
-6x+18x
-------- -
13x-39
13x-39
------ -
0
We zien:
x3-9x2+31x-39=(x-3)(x2-6x+13)

We proberen nu x2-6x+13 te ontbinden... (je kent misschien de som-produktmethode nog wel... twee getallen zoeken die vermenigvuldigd 13 zijn en opgeteld -6 zie Vergelijkingen oplossen m.b.v. ontbinden in factoren)

Dat lukt dus niet... dan maar de ABC-formule:
D=(-6)2-4113=36-52=-16

'Normaal' (dat wil zeggen als je in $\mathbf{R}$ probeert deze vergelijking op te lossen) stop je dan met de opmerking: 'geen oplossingen'. Je bedoelt dan eigenlijk geen rele oplossingen.

Maar wij weten beter...
We vullen de ABC-formule gewoon verder in zoals we dat altijd al deden:

q13524img2.gif

Kijk maar eens goed... we gebruiken i2=-1
√(-16)=√(4-1)=√4 √(-1)=2i
('populair gezegd': √(-1)=i)

En zo gaat dat dan zo'n beetje.

Er is nog een aardig aspect... wat ik toch even wil vermelden...

Je kunt nu schrijven:
x3-9x2+31x-39=(x-3)(x+2i-3)(x-2i-3)

Maar hoe kan het dat het vermenigvuldigen van twee complexe getallen aan de rechter kant geen complexe getallen oplevert aan de linker kant?

(x+2i-3)(x-2i-3)=x2-2ix-3x+2ix+4-6i-3x+6i+9

En zoals je ziet vallen alle termen met complexe getallen er in precies tegen elkaar weg!

x2-2ix-3x+2ix+4-6i-3x+6i+9=x2-3x+4-3x+9=x2-6x+13
(het klopt ook nog...)

Stel je nu eens voor dat je een derdegraadsvergelijking hebt (met reele coefficienten) waarbij je 2 reele oplossingen en 1 complexe oplossing krijgt. Zou dat kunnen kloppen denk je? Waarom niet?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 18 augustus 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3