De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Differentiaalvergelijking oplossen

hoe los ik volgende differentiaalvergelijking op?
y'[0](x)+ly[0](x)=0
y'[i](x)+ly[i](x)=ly[i-1](x)
als y[i]0=0 als i0
en y[0]0=1

loof j
Student universiteit Belgi - maandag 19 mei 2003

Antwoord

Vermenigvuldig beide leden met exp(lx). Het linkerlid wordt dan

= y'i(x).exp(lx) + yi(x).l.exp(lx)
= d/dx [ yi(x) . exp(lx) ]

De oplossing van de i-de differentiaalvergelijking is dan

yi(x) = exp(-lx).[y[i-1](x).exp(lx)dx + Ci]

Zo vinden we achtereenvolgens

y0(x) = exp(-lx)
y1(x) = exp(-lx).(lx)
y2(x) = exp(-lx).(l2x2/2)
y3(x) = exp(-lx).(l3x3/6)

Je kan nu zelf aantonen dat ALS

yk(x) = exp(-lx).(lkxk/k!)

dat DAN

yk+1(x) = exp(-lx).(lk+1xk+1/(k+1)!)

wat het bewijs dan zal vervolledigen.

Nog een leuke opmerking, die ik niet meteen heel rigoureus kan ondersteunen (vanwege de oneindige sommen):

Noem z(x) de som van alle functies yi(x). Dan geldt voor z(x)

z'(x) + lz(x) = lz(x), met randvoorwaarde z(0)=1

De oplossing daarvan is natuurlijk z=1. Tel nu alle gevonden oplossingen voor yi(x) op. Inderdaad!

PS: Laplacegetransformeerden maken deze opgave nog iets eenvoudiger denk ik.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 20 mei 2003


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb