|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Puzzel
òdx/(x2+1)3
Ik herken daarin wel een basisintegraal (die van Bgtg), maar daarvoor staat die exponent 3 natuurlijk 'in de weg'.
Ik probeerde al vanalles te substitueren en pastte ook al partiële integratie toe, maar tot nog toe allemaal zonder succes...
Kan iemand helpen?
Thx!
Antwoord
Je kunt hier de methode van Ostrogradsky gebruiken.
Voor deze integraal stel je dan
òdx/(x2+1)3= (ax3+bx2+cx+d)/(x2+1)2 + ò(px+q)/(x2+1).dx
Neem nu van de twee leden de afgeleide :
1/(x2+1)3 = D(ax3+bx2+cx+d/(x2+1)2) + (px+q)/(x2+1)
Werk de afgeleide van de breuk uit en zet nu het rechterlid op gelijke noemer (x2+1)3.
Stel vervolgens de tellers van linker- en rechterlid aan elkaar gelijk.
Je bekomt dan
1 = p.x5 + (q-a).x4 + 2.(p-b).x3 + (3a-3c+2q).x2 + (2b-4d+p).x + (c+q)
Hieruit volgt :
p=b=d=0
q=a=3/8 en c=5/8
Dus
òdx/(x2+1)3 =
1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8òdx/(x2+1) =
1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8.Bgtg(x) + c
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
