|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Procent
Hoi hoi!
Ik heb moeite met het begrijpen van een opgave + zijn "uitwerkingen". De vraag luidt:
Neem een set vectoren S = {v1 v2 v3, ... vn} in beschouwing die vectorruimte V opspant. Laat w een vector in V zijn maar niet in de set S. Bewijs dat {v1, v2, v3, ..., vn, w} ruimte V opspant maar lineair afhankelijk is.
Te bewijzen; {v1, v2, v3 .. vn, w} spant V op maar is lineair afhankelijk gegeven dat {v1, v2, v3, ... , vn} V opspant.
k1v1 + k2v2 + k3v3 + ... + knvn = w ofwel k1v1 + k2v2+ k3v3 + knvn - w is lineair afhankelijk want -(1) is een scalair getal. Maar... hoe bewijs ik nu dat {v1, v2, v3 ... vn, w) opspant?
In de uitwerkingen zeggen ze het volgende: Neem een vector u in beschouwing in V. Omdat gegeven is dat {v1, v2, v3, ... , vn} V opspant kunnen we schrijven dat u = k1v1 + k2v2 + k3v3 + knvn = k1v1 + k2v2+ k3v3 + knvn + (0)w. Conclusie {v1, v2, v3 .. vn, w} spant ook V op.
Ik begrijp hier helemaal niets van. Die (0) is 0 maar w dus dat is 0. Waarom spant zij dan mee de vectorruimte op? Er is een set vectoren die een vectorruimte V opspant. Als w niet in deze set zit, dan wordt hij geproduceerd door de set S {v1, v2, v3 ... vn}. Daarmee is de set niet meer lineair onafhankelijk. Als dat zo is... dan is w toch helemaal niet nodig in de set? Dat mag je het toch helemaal geen "span" noemen?
Ik zal de opgave per email sturen + de uitwerkingen. Het gaat dan om opgave 13. Ik kijk erg uit naar uw antwoord.
Vriendelijk groet,
Stijn
Antwoord
Er wordt niet meer gedaan dan de definities letterlijk toe te passen.
"De verzameling $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ spant de ruimte $V$ op" betekent niets minder, maar ook niet meer dan: voor elke vector $v\in V$ zijn er getallen $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_n$ zo dat $v=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n$.
Dan spant het stelsel $\{v_1,v_2,\ldots,v_n,w\}$ ook op: dat we iedere keer $0w$ nemen doet daar niets aan af: we kunnen voor elke $v\in V$ getallen $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_n$, $k_{n+1}$ vinden met $v=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n+k_{n+1}w$.
Inderdaad, $w$ helpt eigenlijk niet mee maar de definitie zegt niet dat elke vector ook echt mee moet werken.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
