|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Waarvoor staat exp?
Ik wil onder andere het volume berekenen van een figuur met vergelijking x2 + y2 + z2 = 22 (een bol dus met straal 2) en met grenzen z = 0 en z = 1.
Het berekenen zelfs zal wel geen probleem geven, maar ik heb wel wat problemen bij de coördinaten.
Volgens mij zijn de cilindercoördinaten devolgende:
0  = q = 2p
0 = r = Ö(22 - z2)
0 = z = 1
Klopt dit? En wat zijn dat de bolcoördinaten hiervoor wat daar geraak ik niet aan?
Alvast bedankt,
Kevin
Antwoord
Dag Kevin,
Je cilindercoördinaten zijn correct.
Bolcoördinaten zijn lastiger voor dit probleem, omdat het niet in één keer kan. De drie coördinaten zijn nu r (wordt soms ook r genoemd en is de afstand van een punt tot de oorsprong), q (een hoek in het xy-vlak, net als bij cilindercoördinaten), en j (de hoek die gemaakt wordt met de z-as).
q gaat duidelijk volledig rond, dus van 0 tot 2p.
j gaat van 0 tot p/2, want voor elk van die j-waarden zijn er punten aanwezig die je moet meerekenen in je volume.
En dan het lastigste: hoe ver loopt r? Wel, r begint duidelijk altijd bij nul. Maar voor kleine j-waarden (dus steil omhoog) kom je eerst het vlak z=1 tegen, en dan pas de bolrand. Dus moet je integreren tot z=1, vertaald in bolcoördinaten (met z=rcosj) heb je dus r=0 tot 1/cosj.
Echter, voor grotere j-waarden (dus minder steil omhoog) kom je, als je r laat lopen, eerst de bolrand tegen en dan pas het vlak z=1. Dus moet je integreren tot aan de bolrand, dus r loopt van 0 tot 2.
En waar (dus bij welke j) ligt de scheidingslijn tussen deze twee gebieden? Wel, dat is z=rcosj=1 snijdt met r=2, dus bij j=p/3.
Je krijgt dus twee stukken:
r : 0 - 1/cosj
j : 0 - p/3
q : 0 - 2p
en
r : 0 - 2
j : p/3 -p/2
q : 0 - 2p
Reken beide integralen uit (je komt uit op p + 8p/3) (vergeet de jacobiaan r2sinj niet natuurlijk)
Lukt het zo?
Groeten,
Christophe.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
