|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Rentabiliteitswaarde
Hallo,
We zijn met een onderzoek bezig en moeten daarvoor een formule oplossen..We komen alleen niet meer veder..
we hebben de formule:
m u" + k u'+ c u = F0 cos w t
Voor de u gebruiken we:
u= A e ^ (i w t) + B e ^( – i w t)
vullen we dit in en schrijven we dit helemaal uit dan vinden we:
u(t)= (F0/( -m w2 + c)2 + w2 k2)[ ( - m w2 + c) cos w t + w k sin w t ]
nu willen we dit schrijven als:
u(t)= ..... cos ( wt - ....)
alleen hier komen we niet uit, kunt u ons helpen?
alvast bedankt
Antwoord
Laat ik om te beginnen even een paar dingen ietsje anders schrijven:
1. voor u gebruik ik x (want u gebruik ik vaak voor snelheid en x voor plaats)
2. voor de afgeleide naar de tijd is het gangbaar om een puntje boven de variabele te plaatsen; voor de dubbele afgeleide naar de tijd 2 puntjes.
Op deze manier ziet jou differentiaalvergelijking er als volgt uit:
zou jouw systeem èn ongedempt zijn (k=0) en geen forcering kennen (F0=0) dan zou gelden voor de trilling gelden die de massa zou uitvoeren dat w2=c/m. Omdat dit de "natuurlijke frequentie" genoemd wordt, duiden we c/m aan met w02
Ik zie dat je al van complexe getallen en -e-machten gehoord hebt. Dan is het het slimst om de forceringsterm (F0/m.coswt) te schrijven als een complexe e-macht: (F0/m.eiwt)
waarbij uiteraard alleen het reële gedeelte relevant is: Re(F0/m.eiwt)
zodoende krijgen we
We substitueren nu een oplossing x(t)=A.eiwt waarbij A i.h.a. complex is. (dit impliceert dat de oplossing x(t) wèl dezelfde frequentie heeft als de forceringsterm, maar er NIET noodzakelijk mee in fase hoeft te zijn)
invullen van de oplossing x(t) in de dv levert:
je ziet dat we aan weerszijden de eiwt term kunnen verwijderen:
Nu volgt een beetje rekenwerk om een uitdrukking voor A te vinden:
Zoals je ziet, is A van de vorm a+ib.
Verder kun je zien dat wanneer de forceringsfrequentie w gelijk is aan de natuurlijke frequentie w0, dat dan de amplitude maximaal is. (wat je verwacht bij het verschijnsel "eigenfrequentie")
Omdat we alleen het reele gedeelte van de forceringsterm relevant is  zijn we ook alleen in het REELE gedeelte van de oplossing x=A.eiwt geïnteresseerd:
Het uitwerken van die laatste term laat ik dan even aan jouzelf over.
hopelijk ben je hiermee een beetje op gang geholpen.
groeten,
martijn
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
