|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Ellips - raaklijnen
Beste,
Ik kan nergens voorbeelden vinden over hoe je een probleem over homomorfismen bepalen, uitrekent..
Het gaat over vragen zoals:
#Hom(D14, D5)
#Hom(C7, S8)
#Hom(C4,C4)
#Hom(S5,C9)
enzovoort...
Ik heb absoluut geen idee hoe ik dit moet aanpakken .. Het aantal elementen uitrekenen per groep? De orde bepalen van een groep? Kunt u concrete voorbeelden geven?
Antwoord
Een homomorfisme van een cyklische groep naar een andere groep ligt vast zodra je het beeld van een voorbrenger hebt.
Dus bij $\mathrm{Hom}(C_7,S_8)$ bijvoorbeeld bekijk je de mogelijke waarden van $\phi(1)$. Er moet gelden dat $\phi(1)^7=e$ in de beeldgroep, en omdat $7$ een priemgetal is kan $\phi(1)$ alleen orde $1$ of $7$ hebben. In het eerste geval geldt $\phi(1)=e$ en in het tweede geval moet $\phi(1)$ een $7$-cykel zijn (dat zijn de enige elementen van $S_8$ van orde $7$).
Wat hierboven gebruikt is is de algemene opmerking dat de orde van $\phi(a)$ een deler van de orde van $a$ zelf is.
Dat kun je bij $\mathrm{Hom}(S_5,C_9)$ gebruiken om in te zien dat er maar één homomorfisme is: immers als $\sigma$ een $2$-cykel is dan moet $\phi(\sigma)^2=e$, maar omdat we in $C_9$ zitten ook $\phi(\sigma)^9=e$, dus de orde is een deler van $2$ en $9$ en dus gelijk aan $1$. Voor elke verwisseling geldt dus $\phi(\sigma)=e$, maar dan geldt $\phi(\tau)=e$ voor elke permutatie.
Bij $\mathrm{Hom}(D_{14},D_5)$ kun je apart bekijken wat de ordes van de beelden van de spiegeling en de rotatie kunnen zijn.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
