|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Van gonio functies naar een of andere wortel vorm?
Hoi!
Voor ons OC van wiskunde moeten we een onderzoek doen naar Pythagorese drietallen. We vonden dat je met de volgende formules Pythagorese drietallen kunt vinden:
Voor alle natuurlijke getallen m en n met m $>$ n:
a = n2 - m2
b = 2 · m · n
c= n2 + m2
Je kan dit verklaren door deze formules in te vullen in de stelling van Pythagoras:
a2+b2 = c2
$\Rightarrow$ (n2 - m2)2 + (2mn)2 = n4 - 2n2m2 + m4 + 4n2m2
= n4 + 2n2m2 + m4
= (n2 + m2)2
Maar weet iemand hoe deze formules van a, b en c tot stand zijn gekomen? We kunnen enkel verklaren dat ze kloppen, maar we weten nog niet WAAROM deze formules zo zijn.
Weet iemand hier toevallig meer over?
Alvast bedankt!
Groetjes de OC’ers!
Antwoord
Er waren al versies van deze formule bekend bij de oude Grieken (Plato en Euclides) zie deze site.
Maar ik heb de indruk dat wat jullie willen weten is: kun je deze formules ook afleiden uit de Stelling van Pythagoras.
Ik zal proberen jullie een schets van zo'n afleiding te geven. Je kunt het dan zelf netjes uitwerken in je verslag.
Goed we beginnen met de Stelling van Pythagoras:
$a^2+b^2=c^2$
We delen nu links en rechts door $c^2$
Dit levert:
$\eqalign{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1}$
We noemen nu $\eqalign{x=\frac{b}{c}}$ en $\eqalign{y=\frac{a}{c}}$
We krijgen dan $x^2+y^2=1$
Dit is een vergelijking van een cirkel met straal 1.
Op deze cirkel ligt onder andere het punt (0,-1).
We gaan nu de lijn door (0,-1) met richtingscoefficient $\eqalign{\frac{m}{n}}$ snijden met de cirkel.
Deze lijn heeft de vergelijking $\eqalign{y=\frac{m}{n}x-1}$.
Invullen van y levert:
$\eqalign{x^2+(\frac{m}{n}x-1)^2=1}$
Je moet nu maar eens nagaan dat dat de snijpunten:
$(x,y)=(0,-1)$ en $\eqalign{(x,y)=(\frac{2mn}{m^2+n^2},\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2})}$ oplevert.
Aangezien we hadden $\eqalign{x=\frac{b}{c}}$ en $\eqalign{y=\frac{a}{c}}$ kunnen we nu kiezen:
$a=m^2-n^2$
$b=2mn$
$c=m^2+n^2$
Er valt over deze parametrisatie nog wel meer op te merken maar dat kunnen jullie vast ook wel op internet vinden.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
