|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Analyse
hey,
terloops kwam ik in verband met wat vraagstukken over convergentie een reeks tegen waar ik niks mee kon.
namelijk $\sum$$\infty$n=0 (an + nb) · xn
waarbij b positief, zo nodig in $\mathbf{N}$
de vraag was, wat is de convergentiestraal
mijn vermoeden is dat deze straal a is, maar een bewijs lijkt moeilijk.
is het mogelijk de limn$\to\infty$ n√(an + nb)
te berekenen?
met vriendelijke groet,
Sjaak
Antwoord
Wel zeker is het mogelijk de limiet te bepalen; maar je moet gevallen onderscheiden (ik neem aan dat a =0): als a =1 dan is de limiet gelijk aan 1 (en de convergentiestraal is dan 1) en als a1 dan is de limiet gelijk aan a (en de straal is dan 1/a).
Als a=1 dan haal je (binnen de wortel) eerst nb buiten de haakjes: nb(1+an/nb). Omdat a=1 volgt dat wat tussen de haakjes staat niet groter is dan 2. Je uitdrukking ligt tussen de n-demachtswortels van nb en 2*nb; deze beide hebben limiet 1, pas de insluitstelling toe. Als a1 dan haal je juist an buiten de haakjes en ook biten de wortel je krijgt dan a maal de n-demachtswortel van 1+nb/an; omdat a1 wordt dit op den duur kleiner dan 2, pas weer de insluitstelling toe.
Overigens kun je de reeks ook als som van twee losse reeksen zien; de een met convergentiestraal 1/a, de andere met straal 1. De convergentiestraal van de somreeks is het minimum van de twee.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
