|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Doorsneden
Hallo
Ik vroeg me af of een lineaire differentievergelijking van de tweede orde altijd oneinding veel oplossingen heeft? Of kan het ook voorkomen dat deze geen/slechts één oplossing heeft? Ik zou zelf denken dat deze altijd oneindig veel oplossingen heeft maar ik ben hier niet zeker over...
Voorbeeld:
Yn+2 + 3Yn+1 - Yn = 7
De oplossingsverzameling is hier een tweedimensionale deelruimte, wat maakt dat alle LC's ook oplossingen zijn en er dus oneindig veel oplossingen zijn?
Juiste redenering?
Antwoord
Voor de bijbehorende homogene vergelijking
$$
Y_{n+2}+3Y_{n+1}-Y_n=0
$$gelden je beweringen: de oplosverzameling is een lineaire deelruimte van de ruimte van alle rijen reële getallen en hij is inderdaad tweedimensionaal.
Een basis wordt gevormd door de oplossingen $X$ en $Y$ die voldoen aan respectievelijk $\bigl(X(0),X(1)\bigr)=(1,0)$ en $\bigl(Y(0),Y(1)\bigr)=(0,1)$.
Dat levert inderdaad oneindig veel oplossingen: alle lineaire combinaties van $X$ en $Y$.
De oplossingsverzameling van het gegeven probleem is deze deelruimte maar dan opgeschoven langs een particuliere oplossing. (En dat geeft dus oneindig veel oplossingen.)
Het is als bij elk lineair probleem: de totale oplossing bestaat uit de oplossing van het homogene probleem opgeteld bij een particuliere oplossing.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
