WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 3 mei 2024

Wortel 3 is irrationaal

Hoe kan je bewijzen dat de wortel uit 3 een irrationeel getal is?

Geertje Hoving
29-3-2002

Antwoord

Stel $\sqrt{3}$=p/q (p,q Î N) waarbij de breuk niet verder vereenvoudigd kan worden.

$\sqrt{3}$=p/q
3=p2/q2
3q2=p2 (1)

Hieruit volgt dat p2 een drievoud is... maar een kwadraat is alleen drievoud als p ook een drievoud is. Dus p is te schrijven als 3·a (met a=p/3). Dan is p2=9a2 en dan volgt uit (1):

3q2=9a2
q2=3a2

Dus q2 is ook een drievoud... en q dus ook. Maar dan hadden we de breuk p/q kunnen vereenvoudigen, maar dat is in strijd met de aanname! Dus $\sqrt{3}$ kan je niet schrijven als een breuk, dus $\sqrt{3}$ is irrationaal! (En niet irrationeel, want dat is iets anders, ook lastig...)

WvR
29-3-2002


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#991 - Getallen - Leerling bovenbouw havo-vwo