WisFaq!

Veeltermen

Goedendag

Zij f een veeltermfunctie met
f (x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d.
Als f (3) = 20, f (6) = 40 en f (9) = 60, waaraan is f (0) + f (12) dan gelijk?'

ik heb al verschillende dingen geprobeerd maar ik kwam nooit een antwoord uit want ik had te veel onbekenden, hoe moet je hieraan beginnen?

Dank, Arne

Arne
16-3-2025

Antwoord

Als je $3$, $6$, $9$, en $12$ invult lijkt het of je grote getallen krijgt
waar weinig mee te doen is, maar als je $3=1\cdot3$, $6=2\cdot3$, $9=3\cdot3$,
en $12=4\cdot3$ schrijft krijg je vier dingen die erg op elkaar lijken:
$$
f(i\cdot3)=i^4\cdot3^4+i^3\cdot a3^3+i^2\cdot b3^2+i\cdot c3+ d
$$
Merk ook nog op dat $f(0)=d$.
Schrijf nu even $z_1=3^4$, $z_2=a3^3$, $z_3=b3^2$, $z_4=c3$, en $z_5=d$.
Je krijgt nu vier vergelijkingen:
$$
\begin{cases}
z_1+z_2+z_3+z_4+z_5&=20 \\
16z_1+8z_2+4z_3+2z_4+z_5&=40 \\
81z_1+27z_2+9z_3+3z_4+z_5&=60\\
256z_1+64z_2+16z_3+4z_4+2z_5d&=q
\end{cases}
$$
De laatste vergelijking is $f(12)+f(0)=q$, waarbij $q$ het getal is dat
we zoeken.
Als je nu netjes van achter naar voren $z_5$, $z_4$, en $z_3$ elimineert zul
je zien dat $z_2$ ook uit de laatste vergelijking wegvalt en de laatste
vergelijking uiteindelijk verandert in $24z_1=q-80$; vul nu $z_1=3^4$ in en
klaar ben je.

Je kunt het elimineren ook in deze aangevulde matrix doen:
$$
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1&|&20\\
16&8&4&2&1&|&40 \\
81&27&9&3&1&|&60 \\
256&64&16&4&2&|&q
\end{pmatrix}
$$

kphart
16-3-2025