WisFaq!

Variabelen in een limiet uitrekenen

Geachte heer,

Ik wou namelijk vragen over een limiet oplossen, waarbij behalve x ook nog andere variabelen zoals a, b en c voorkomen.

In de opgestuurde foto heb ik een uitwerking gezet, echter lukt het me niet om de variabele c te vinden.

Ik heb namelijk alle x-en gedeeld door de x met hoogste macht die in de noemer voorkomt, echter kom ik klem te zitten bij het vinden van variabele c.

Bijvoorbaat dank ik u voor uw medewerking,

Radjan

Radjan
12-1-2025

Antwoord

Het gaat om
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(2a^2-8)x^9+(6+c)x^4+(b-a)x^3}{(b^2-9)x^5+2x^4}
$$
die moet gelijk zijn aan $4$.
Daar moet je inderdaad naar de hoogste machten van $x$ in teller en noemer kijken, maar omdat de limiet een getal tussen $0$ en $\infty$ is moeten die hoogste machten gelijk zijn. Als de hoogste macht in de noemer groter is dan die in de teller is de limiet gelijk aan $0$, en andersom krijg je $\pm\infty$.

Als je naar de teller en noemer kijkt zie je dat de macht $x^9$ weg moet uit de teller en dat daarna $x^5$ weg moet uit de noemer.
Dus moet $2a^2-8=0$ en $b^2-9=0$ gelden. Dan houden we
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(6+c)x^4+(b-a)x^3}{2x^4}=4
$$
over. Deel daarin teller en noemer door $x^4$ en je krijgt je antwoord voor $c$.

Overigens gaat het op je rechterpagina behoorlijk mis: je schrijft dat $b^2-9$ niet gelijk aan nul moet zijn, en toch concludeer je $b=-3$. Daarna probeer je
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{(2a^2-8)x^4}{b^2-9}=4
$$
voor elkaar te krijgen maar dat gaat nooit lukken; in ieder geval niet met de $a$ en $b$ die je gevonden hebt wat die leiden tot iets onzinnigs:
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{0x^4}{0}
$$

kphart
12-1-2025