WisFaq!

Oefening op vergelijking van Hesse

Beste

oef:
bepaal de punten op a $\leftrightarrow$ 2x-y+3=0 die op een afstand van 2 liggen van
b $\leftrightarrow$ 4x-3y+1=0

ik heb de oefening opgelost via de vergelijking van Hesse. Zo bekom ik 2 rechten die op een afstand 2 liggen van b. Deze rechten stelde ik dan gelijk aan a om hun snijpunten te vinden.
Maar het is mis, als ik kijk op geogebra dan kloppen de rechten zelf niet terwijl ik geen rekenfouten heb gemaakt.
Zie ik iets over het hoofd?

in bijlagen vindt u mijn uitwerking alvast bedankt!

maxime
16-5-2023

Antwoord

Hallo Maxime,

Je maakt twee vergissingen. Het gaat goed tot waar je uitkomt op twee vergelijkingen met twee onbekenden (x en y):

4x-3y-9=0 (vgl. 1)
2x- y+3=0 (vgl. 2)

Om de oplossing te vinden, is gelijkstellen niet de juiste methode. Immers, als je stelt:

4x-3y-9=2x-y+3

Dan vind je oplossingen waarbij het linkerlid en rechterlid 'toevallig' dezelfde waarde hebben (zoals 5, 23, of 102), maar dat is niet de bedoeling. Linkerlid en rechterlid moeten nul zijn.

Verder: als deze vergelijking wel juist zou zijn, dan kom je na herleiden op:

2x-2y-12=0

Hieruit volgt niet x=6, zoals je schrijft. Als je x vrijmaakt, krijg je:

2x=2y+12
x=y+6

Dus oneindig veel oplossingen. Dat klopt ook: er zijn oneindig veel combinaties x en y waarbij het linkerlid en rechterlid van je vergelijking gelijk zijn (maar niet noodzakelijk nul).

Hoe moet je zo'n stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden dan oplossen? Schrijf de vergelijkingen eerst als:

4x-3y=9
2x- y=-3

Er zijn twee voor de hand liggende methoden om dit stelsel op te lossen:

1. Optellen en aftrekken:
   
   Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 2 om dezelfde coëfficiënt voor x te krijgen:
   4x-3y=9
   4x-2y=-6
   
   Trek de vergelijkingen van elkaar af:
   4x-4x -3y-(-2y)=9-(-6)
   -y=15
   y=-15
   
   Vul y=-15 in één van de vergelijkingen in:
   4x-3 $\times $ -15=9
   x=-9
   
2. Substitueren:
   
   Maak y vrij in de 2e vergelijking:
   4x-3y=9
   y=2x+3
   
   Vul dit in de andere vergelijking in:
   4x-3(2x+3)=9
   4x-6x-9=9
   -2x=18
   x=-9
   
   Invullen in de tweede vergelijking:
   y=2 $\times $ -9+3
   y=-15
   

Kijk maar eens bij:

• Stelsels oplossen: Optellen en aftrekken
• Stelsels oplossen: Substitueren.

GHvD
17-5-2023