WisFaq!

Re: Basisbegrippen

Hoezo?
primitieve van (R² - r²)¹/2 is toch:
macht + 1: ¹/₂ + 1 = ¹/₂ + 2/2 = 3/2
factor 1/macht = 1/(3/2) = 2/3
dus 2/3. (R² - r²)³/2

2e deel van de vraag:
integraal ⌡r. (R² - r²)¹/2 is r · 2/3· R³ = ²/₃ · R⁴
R⁴ door r.R³ ???

Dank bij voorbaat.
Marc BOLLE

Marc BOLLE
15-3-2023

Antwoord

Kennelijk niet, er stond overigens een tikfout in mijn antwoord, ik was een $r$ vergeten. Het staat er nu goed. Je redenering is hier niet van toepassing wegens de $r^2$ in de wortel. Dan gaat de kettingregel meespelen bij het terugdifferentieren.
De afgeleide van jouw gok is, met de kettingregel:
$$\frac23\cdot\frac32\cdot\left(R^2-r^2\right)^{\frac12}\cdot -2r
= -2r\left(R^2-r^2\right)^{\frac12}
$$Die $-2r$ is de afgeleide van de $-r^2$ die binnen de haken staat.

Jij begon met $r\cdot(R^2-r^2)^{\frac12}$, dus om de primitieve goed te krijgen moet je jouw gok nog met $-\frac12$ vermenigvuldigen.

Met jouw foute primitieve (en die foute extra factor $r$) had er dit uit de integraal moeten komen:
$$\left.r\cdot\frac23(R^2-r^2)^{\frac32}\right|_0^R = 0-0=0
$$En dat geeft ook aan dat er iets mis is: het volume is gelijk aan nul??

De juiste oplossing is
$$\int_0^R r\cdot(R^2-r^2)^{\frac12}\mathrm{d}r=
\left.-\frac13(R^2-r^2)^{\frac32}\right|_0^R = -0+\frac13R^3
$$

kphart
15-3-2023