WisFaq!

Taylorpolynomen restterm

Ik heb een vraag over de taylorpolynomen. Bij het benaderen van een getal mbv een taylorpolynoom heb je een restterm. Voor het berkenen van de restterm gebruiken we R_n(x) = (fⁿ⁺¹(s))/((n+1)) · (x-a)ⁿ⁺¹. Ik begrijp echter niet hoe de s wordt gekozen bij het berekenen van de restterm. Kan iemand mij dit uitleggen?

Plinna
7-12-2022

Antwoord

De $s$ wordt niet gekozen; de stelling zegt dat er een $s$ bestaat, tussen $a$ en $x$ (en afhankelijk van $x$ en van $n$) zó dat
$$f(x)=T_n(x) +R_n(x)
$$Je gebruikt dit om $R_n(x)$ af te schatten, niet om hem te berekenen.
Bijvoorbeeld:
$$\sqrt x= 1+\frac12(x-1)+R_1(x)
$$met
$$R_1(x) = -\frac14s^{-\frac32}\cdot\frac1{2!}(x-1)^2
$$Dat vertelt ons bijvoorbeeld dat $\sqrt x < 1+\frac12(x-1)$ als $x\neq1$.
Nu kun je $\sqrt{\frac32}$ benaderen met $1+\frac12(\frac32-1)=1+\frac14$.
En $R_1(\frac32)$ kun je afschatten, eerst $x=\frac32$ invullen:
$$-\frac18\cdot s^{-\frac32}\cdot\frac14 = -\frac1{32}\cdot s^{-\frac32}
$$Van $s$ weet je alleen dat $1 < s < \frac32$, dus het beste wat je kunt zeggen is dat $s^{-\frac32}$ kleiner dan $1$ is.
En dus in ieder geval
$$\frac54 > \sqrt{\frac32} > \frac54-\frac1{32}
$$

kphart
7-12-2022