WisFaq!

Primitiveren van ln x

Hallo,

De primitieve van ln x is x·ln x - x
Kunt u uitleggen hoe ik met behulp van deze regel de primitieve van ln(x²) kan vinden?
Ik zou zeggen:
(x² ln x² - x²)/2x

Kunt u misschien ook afleiding geven van de primitieve ln x?

Al vast bedankt.

Groeten,
Sjoerd

Sjoerd
5-4-2003

Antwoord

De primitieven van f(x) = ln(x) zijn inderdaad de functies F(x) = x.ln(x) - x + c.
Strikt genomen moet het trouwens zijn F(x) = x.ln|x| - x + c, waarbij de verticale streepjes rond de x staan voor de absolute waarde of de modulus van x (bekend?).
Het aantonen hiervan gaat met een methode die niet meer in het reguliere programma van de middelbare school zit, namelijk met de methode van partieël integreren.
Maar: als je de functie F differentieërt, dan zie je vanzelf dat het precies weer f oplevert. Daarmee is het bewijs toch geleverd!
Nu even over f(x) = ln(x²).
Wat je zelf denkt is helaas niet correct. Differentieer maar, en je ziet het.
Het bewijst in ieder geval dat wat soms zo voor de hand lijkt te liggen, soms totaal niet klopt.
Wat dan wel? Gebruik een logaritme-eigenschap, namelijk ln(x²) = 2.ln(x) en gebruik dan de primitieve van ln(x). Het getal 2 dat er nog voor staat geeft daarbij geen storingen.
Overigens: ook de regel ln(x²) = 2.ln(x) is niet volledig zuiver. Ook dit moet zijn ln(x²) = 2.ln|x|

MBL
5-4-2003