WisFaq!

Vinden van een limiet

Hallo,

Ik heb moeite met een vraag uit mijn wiskundeboek. Een plaatje is gestuurd naar het mailadres.

Er wordt gevraagd om te verifiëren dat een limiet niet bestaat. Ik weet alleen niet hoe ik dit moet aanpakken. Een voorbeeld eerder in het boek maakt gebruik van de definitie van differentiëren. Wanneer ik dat doe, loop ik vast op een grote formule. Ook dit heb ik meegestuurd via de mail. Als ik nu voor de formule voor z een nul substitueer dan krijg ik een deling door nul.

Ik hoop dat u me de goede richting kunt aanwijzen.

Erwin den Boer
10-10-2021

Antwoord

Het staat allemaal in de hints: bekijk
$$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{f(z)-f(0)}{z-0} = \left(\frac{\bar z}{z}\right)^2
$$Als $z$ op de reële as ligt is het quotiënt gelijk aan~$1$.
Maar voor $z$ van de vorm $x+xi$ geldt $z^2=2xi$ en $\bar z^2=-2xi$, dus het quotiënt is dan gelijk aan~$-1$.

Gevolg: langs de reële as geldt
$$\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{x\to0}1=1
$$langs de lijn $y=x$ vinden we
$$\lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{x\to0}-1=-1
$$De totale limiet bestaat dus niet, want die zou tegelijk gelijk aan $1$ en $-1$ moeten zijn.

kphart
10-10-2021