WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 3 december 2021

Bepaling limiet via definitie 7

Bewijs dat de limiet van tan(x) voor (x$\to$0) = 0

Definitie : voor ieder e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodanig dat als 0 $<$ |x-0| $<$ d
dit impliceert dat |tan(x)-0| $<$ e

Kies e $>$ 0

We kiezen alle x-en in ]-$\pi$/2,+$\pi$/2[

We herschrijven |tan(x)-0| = |tan(x)| dan als volgt

|tan(x)| = tan(x) indien tan(x) $\ge$ 0,
en dit is waar voor alle x-en in [0,+$\pi$/2[.
Voor x in [0,+$\pi$/2[ kunnen we dus schrijven
tan(x) = tan|x|.

|tan(x)| = -tan(x) indien tan(x) $<$ 0,
en dit is waar voor alle x-en in ]-$\pi$/2,0[.
Verder weten we uitgaande van de goniometrie
dat -tan(x) = tan(-x).
Voor x in ]-$\pi$/2,0[ kunnen we dus schrijven
-tan(x) = tan(-x) = tan|x|

We schrijven dus voor alle x-en in ]-$\pi$/2,+$\pi$/2[
|tan(x)| = tan|x|

Vervolgens bepalen we een geschikte d door de ongelijkheid
|tan(x)| = tan|x| $<$ e te gebruiken

tan|x| $<$ e herleiden we verder als volgt :
Arctan(tan|x|) $<$ Arctan(e) of |x| $<$ Arctan(e)

Kies dan d = Arctan(e)
zodanig dat als 0 $<$ |x-0| $<$ d
dit impliceert dat |tan(x)-0| $<$ e

Is deze redenering correct en zijn de stappen bij deze voldoende uitgelegd ?

Met dank,

Rudi

Rudi
14-9-2021

Antwoord

Hier gelden dezelfde opmerkingen als bij nummer 6 over de woordkeus.

Verder maakt het bewijs gebruik van geschut dat, denk ik, nog niet beschikbaar is. Als je in het stadium bent dat je $\lim_{x\to0}\tan x$ moet bepalen dan lijkt me $\arctan x$ nog niet voorhanden: in het bewijs dat die functie bestaat is de continuÔteit van de tangensfunctie nodig. En daar is het huidige probleem een onderdeel van.
Ik vermoed dat het hier wat elementairder moet. Vermoedelijk zijn de limieten $\lim_{x\to0}\sin x=0$ en $\lim_{x\to0}\cos x=1$ al afgeleid. In dat geval kun je het afmaken met de quotiŽntregel voor limieten:
$$\lim_{x\to0}\tan x=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac01=0
$$
Als je het echt via de definitie wilt doen werk dan op het interval $(-\frac\pi3,\frac\pi3)$, daar geldt $\frac12\le\cos x$, en verder geldt overal $|\sin x|\le|x|$ dus op het interval geldt
$$|\tan x|=\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right|\le 2|x|
$$dan gaat het verder eenvoudig met $\delta=\frac12\varepsilon$.

kphart
14-9-2021


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#92670 - Limieten - Ouder