WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op zondag 16 mei 2021

Definitie hyperbolische afstand

In bijna alle handboeken wordt de hyperbolische afstand gedefinieerd als een combinatie van dubbelverhouding en een logaritme. Waarom is dat? Wat is de achterliggende gedachte?

Ik heb wat gesurft en wordt gek want de ene definitie verwijst naar de andere. Zo is er dus de definitie met dubbelverhouding, de metriek van ds2= (dx2+dy2)/y2 , dan nog eentje waar men het omgekeerde van het imaginair gedeelte van een complex getal neemt....

Allemaal definities maar nooit een verantwoording (wel achteraf een checken dat de definitie "past"

PS
Gek genoeg kwam ik online een antwoord tegen dat mij het meest bekoort: nl op deze website. Maar hier ook heb ik vragen bij. Wie kan mij helpen. Ik realiseer mij dat dit geen eenvoudige vraag is . Ik ben ook geen student maar een wiskunde hobbyist die lastige vragen stelt

jan
24-3-2021

Antwoord

In het schijfmodel voor de hyperbolische meetkunde (de cirkellimiet van Escher) is de open eenheidsschijf en heeft als `lijnen' cirkelbogen die de eenheidscikel loodrecht snijden, en de lijnen door de oorsprong.
Bij de meetkunde horen transformaties en dat zijn afbeeldingen van de schijf naar zichzelf die alle hoeken bewaren en omkeerbaar zijn. Dat zijn precies de afbeeldingen die op deze pagina besproken worden. Als je nu eist dat dat isometrieŽn zijn dan kom je vanzelf op de afstandsfunctie uit die daar gegeven is.

Een bewijs dat de genoemde afbeeldingen ze ook allemaal zijn kost wat Complexe-Functietheorie, het wordt gegeven op het college van 2016-06-20 van deze cursus.

Het korte antwoord is dus: zodra de `lijnen' bepaald zijn en de hoekbewarende transformaties ook, dan ligt de afstandsfunctie vast, op een schaalfactor na.

Voor het bovenhalfvlakmodel geldt iets dergelijks: je kunt de hoekbewarende transformaties opsporen en van daaruit dringt de afstandsfunctie zich automatisch op. Eigenlijk het gewoon het schijfmodel; er is een hoekbewarende transformatie (een Moebiustransformatie) die de ene in de andere overvoert.

kphart
25-3-2021


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#91816 - Complexegetallen - Iets anders