WisFaq!

Onbekenden van een functievoorschrift zoeken

Beste

Ik zit helemaal vast bij de volgende vraag.

De functie met voorschrift $
\eqalign{f(x) = \frac{{ax^2 + b}}
{{(x - c)(x - d)}}}
$ is even, heeft 0 als nulpunt en de grafiek van f heeft als asymptoten de rechte met vergelijking x=1 en y=2.

• Bepaal a, b, c en d.

Alleen c heb ik gevonden en dat is 1, de rest kan ik niet vinden.

Bedankt alvast!

Met vriendelijke groeten

Nisa Hasmercan
22-10-2020

Antwoord

Hallo Nisa,

Een breuk is nul wanneer de teller nul is (en de noemer niet tegelijk ook nul is). Omdat het nulpunt ligt bij x=0 moet je voor het nulpunt dus oplossen:
ax²+b=0 voor x=0

Ga voor jezelf na dat hieruit volgt: b=0.

Je had al gevonden: c=1, dat is prima. Hiermee is de functie al wat eenvoudiger:



Gegeven is: f(x) is even. Dat betekent dat f(x)=f(-x), ofwel: wanneer je -x invult, moet je dezelfde uitkomst vinden als wanneer je x invult. Voor de teller is dit al in orde, want x²=(-x)². Voor de noemer is het handig om de haakjes weg te werken. De noemer wordt dan:

x² -(c+d)x +cd

Ook nu mag het niet uitmaken of we x invullen of -x, ofwel:

x² -(c+d)x +cd = (-x)² +(c+d)x +cd

Dit is alleen waar als -(c+d)=(c+d). Kennelijk geldt: c+d=0. We wisten al: c=1, dus d=-1. We weten nu dus:



Tot slot: f(x) heeft als horizontale asymptoot y=2. Dit betekent: wanneer x naar oneindig gaat, dan gaat f(x) naar 2. Deel teller en noemer door x², dan zie je dat f(x) voor grote waarden van x naar a gaat. Dus: a=2. We vinden dus:



Kennelijk heeft de functie ook nog een tweede verticale asymptoot met vergelijking x=-1.

GHvD
22-10-2020