WisFaq!

3de graad functie zonder wortels

Hallo

Ik lees overal dat een 3de graad functie (ax³+bx²+cx+d) altijd minstens één reële wortel heeft (volgens teken van discriminant). Ik kan me toch een curve van de 3de graad voorstellen die niet langs de x-as loopt, die altijd erboven blijft. In dat geval heeft die toch geen wortel.
Bedankt.
Evi

Evi
23-9-2020

Antwoord

Laat maar zien dan!

Ondertussen:
omdat $a\neq0$ kun je die wegdelen en kunnen we dus wel aannemen dat $a=1$.
Als je nu een $x$ neem die groter is dan $|b|+|c|+|d|+1$ dan geldt voor die $x$ dat
$$|bx^2+cx+d|\le |b|x^2+|c|x^2+|d|x^2 < x^3
$$voor die $x$ is $x^3+bx^2+cx+d$ dus positief. Aan de andere kant geldt dan ook, als je $-x$ invult:
$$(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d < 0
$$Dan volgt dat tussen $-x$ en $x$ een (reële) wortel zit.

kphart
23-9-2020