WisFaq!

Algebraïsche vorm van de vergelijking

Alle complexe oplossingen van de volgende vergelijking:

z⁶+z³-j+1=0

Zou iemand aub mij kunnen helpen hoe ik verder kan geraken nadat ik mijn discriminant berekent heb,ik kom uit op (-1/2)+/-((√-3+4j)/2)

Brayan
6-8-2020

Antwoord

Even netjes opschrijven wat je hebt:
$$z^3=-\frac12\pm\frac12\sqrt{-3+4j}
$$Je zoekt dus in eerste instantie complexe getallen $w$ met de eigenschap dat $w^2=-3+4j$. Dan kun je die op de plaats van $\sqrt{-3+4j}$ invullen.

Dat is niet zo moeilijk: schrijf $w=u+vj$ en werk uit: $(u^2-v^2)+2uvj=-3+4j$, dus $u^2-v^2=-3$ en $2uv=4$. Dat kun je oplossen, je krijgt $w=\pm(1+2j)$.
Nu invulling krijg je dus $-\frac12+\frac12(1+2j)=j$ en $-\frac12-\frac12(1+2j)=-1-j$.

Dus dan nog $z^3=j$ en $z^3=-1-j$ oplossen.

kphart
6-8-2020