WisFaq!

Extremumproblemen vraagstuk

Beste

Dit is het vraagstuk: De eigenaar van een appartementencomplex van 100 appartementen weet dat hij al zijn appartementen kan verhuren als hij een maandelijkse huur van €600 vraagt. Uit een enquête gehouden onder zijn huurders verwacht hij dat elke verhoging van de huurprijs met €10 tot gevolg heeft dat er één appartement meer leegstaat.

• Welke huurprijs zal de eigenaar vragen als hij zijn inkomsten wil maximaliseren? Hoe groot zijn dan de inkomsten?

Ik begrijp wat er gaande is, maar ik ben al dagen aan het strugglen met het opstellen van de formule. Ik weet al dat elke keer als de huur met 10 euro stijgt, er 1 huurder minder is. Dat je dus 2 factoren hebt die opklaar inspelen, Het geld dat 1 huurder moet betalen en dat van het aantal huurders. Maar ik kan gewoonweg niet tot een formule komen. Zouden jullie me alstublieft een verduidelijking geven.

Alvast bedankt
Milla

Milla
10-7-2020

Antwoord

Beschouw $p$ als de huurprijs en $n$ als het aantal huurders. In dit geval is $n$ een functie van $p$. Ik ga proberen om $n$ uit te drukken in $p$. Als $p$ met €10 toeneemt dan neemt $n$ met 1 af. Dat is een lineair verband.

Er geldt:

$n=ap+b$

Als je twee punten weet van een lineair verband dan kan je een formule opstellen. Neem bijvoorbeeld (600,100) en (610,99):

$
\eqalign{a = {{\Delta n} \over {\Delta p}} = {{99 - 100} \over {610 - 600}} = {{ - 1} \over {10}} = - {1 \over {10}}}
$

Zodat:

$
\eqalign{
& n = - {1 \over {10}}\left( {p - 600} \right) + 100 \cr
& n = - {1 \over {10}}p + 160 \cr}
$

De totale opbrengst is dan gelijk aan:

$
\eqalign{
& O = n \cdot p \cr
& O = \left( { - {1 \over {10}}p + 160} \right) \cdot p \cr
& O = - {1 \over {10}}p^2 + 160p \cr}
$

...en dan heb je je formule. Hopelijk helpt dat?

WvR
10-7-2020