WisFaq!

Aantonen dat een 4e punt op een cirkel ligt

Situatieschets: Gegeven is een driehoek ABC met zijden a, b en c. Projecteer AB = c resp. BC = a op BC resp. op AB. Deze projecties komen overeen met de lijnstukken A'B resp. BC' (zie figuur in bijlage). Op het verlengde AX van AB duid men het punt D aan, zodanig dat BD = BC'. Op het verlengde CY van BC duid men het punt E aan zodanig dat BE = A'B. Vierhoek ACDE is dan een koordenvierhoek. Toon aan.

Het is zo dat door A, C en D zeker een cirkel (K) gaat. Verder is het in de figuur direct duidelijk dat de vierhoek A'BC'H een koordenvierhoek moet zijn (één paar overstaande hoeken van elk 90°). En bovendien zijn de driehoeken A'BC' en BDE congruent.

Als nu kan worden aangetoond dat hoek(EAC) + hoek(EDC) = 180° dan is het bewijs geleverd. Tweede denkpiste: tracht aan te tonen dat de hoeken hk(ADC) en hk(AEC) gelijk zijn, want dan zijn het omtrekshoeken die op de koorde AC staan, en dat kan dus enkel als E op de cirkel (K) ligt. In beide gevallen kwam ik niet echt tot een zinvol resultaat.

Mijn vraag: Kunnen jullie mij helpen met een aanwijzing, om dit probleem op te lossen? Van harte bedankt.

Jan Heyndrikx
28-6-2020

Antwoord

Hallo Jan,

De sleutel zit hier in dat $\bigtriangleup\; ABC \sim \bigtriangleup\; A'BC'$, wat je kunt zien vanwege onder andere $AB : A'B = BC : BC'$.

Heb je daar genoeg aan?

Met vriendelijke groet,

FvL
29-6-2020