WisFaq!

Punt spiegelen in beeld van puntspiegeling

Hoi,

Ik ben bezig met een opdracht over isometrie. Ik ben van alles aan het proberen op GeoGebra maar het lukt mij niet om een bewijs te vinden voor het volgende probleem:

Drie willekeurige punten A, B, C en X1. Voer het volgende uit: Puntspiegel 𝑋1 in A, het beeld is 𝑋2. Puntspiegel 𝑋2 in B, het beeld is 𝑋3 enzovoorts. Puntspiegel in totaal zes keer (dus t/m X7), in A, B, C en weer A, B en C.

• Verklaar waarom X7 op X1 terecht komt.

Ik ben al een hoop congruente driehoeken en dus overeenkomende oppervlaktes tegengekomen, maar veel verder dan dat kom ik niet. Is er ergens een bepaald punt of een bepaalde lijn waar alle punten door gespiegeld worden?

Ik hoop dat ik het duidelijk verwoord heb.

Alvast bedankt,

Ruben
9-6-2020

Antwoord

Hallo, Ruben.

Kies een oorsprong en laat x de plaatsvector zijn van X.
Het beeld van X1 bij spiegeling in A is x₁ + 2(a-x₁) = 2a - x₁.
Dus x₂ = 2a - x₁.
Dan is x₃ = 2b - x₂ en x₄ = 2c - x₃ en x₅ = 2a - x₄ en x₆ = 2b - x₅ en x₇ = 2c - x₆.
Terugrekenend vind je x₇ = x₁.

Succes!

hr
9-6-2020