WisFaq!

Examenopgave mbo 77-78

Ik krijg het bepalen van de vergelijking een aparte normaal vector met (a,b,c)=(4/5,-5/9,1) kun je deze tot hele getallen maken ? Nou het lijkt me niet goed mischien moet ik me afvragen of het vlak V wel goed is door middel van de vectorvoorstelling.

Gegeven zijn de lijnen l en m:

l:(2,0,0)+l(5,12,0)
m:(0,0,a)+m(3,0,-4).

Het vlak V bevat de lijn l. Lijn m is evenwijdig met vlak V.

• Bepaal de vergelijking van dit vlak.

Ik weet nu niet of mijn stap juist is. Ik heb een vectorvoorstelling gemaakt van V door de steunvector van l te nemen en de richtingsvectoren van l en m: V=(2,0,0)+l(5,12,0)+m(3,0,-4)

Als ik een normaalvector van V probeer te vinden om de vergelijking op te stellen kom ik op breuken uit vandaar dat ik twijfel aan mijn vectorvoorstelling van V.

mboudd
6-4-2020

Antwoord

Op zich zijn breuken geen probleem voor een normaalvector. Vermenigvuldig de hele zaak met een handig getal om de breuken weg te werken.

Maar misschien kan je je berekening laten zien? Ergens heb je mogelijk een rekenfoutje gemaakt.

Ik had 't (in ieder geval) zo gedaan:

$
\begin{array}{l}
V:\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{12} \\
0 \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
{ - 4} \\
\end{array}} \right) \\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 5\lambda + 3\mu \\
y = 12\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{{12}} \\
z = - 4\mu \Rightarrow \mu = - \frac{1}{4}z \\
\end{array} \right. \Rightarrow \\
x = 2 + 5 \cdot \frac{1}{{12}}y + 3 \cdot - \frac{1}{4}z \\
x = 2 + \frac{5}{{12}}y - \frac{3}{4}z \\
12x = 24 + 5y - 9z \\
12x - 5y + 9z = 24 \\
\end{array}
$

't Zelfde idee maar misschien anders uitgewerkt?

Naschrift

Het kan ook met inproducten. De normaalvector staat loodrecht op de twee richtingsvectoren.

$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{12} \\
0 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}} \right) = 0 \wedge \left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
{ - 4} \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}} \right) = 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
5a + 12b = 0 \\
3a - 4c = 0 \\
\end{array} \right. \\
Kies\,\,\,a = 12 \\
b = - 5 \\
c = 9 \\
n_V \left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
{ - 5} \\
9 \\
\end{array}} \right) \\
12x - 5y + 9z = d \\
Vul\,\,\,in\,\,\,(2,0,0) \\
d = 24 \\
V:12x - 5y + 9z = 24 \\
\end{array}
$

De waarden voor a, b en c liggen niet vast. Je kunt op het goede moment zelf een handige waarde kiezen voor bijvoorbeeld $a$. Je hebt dan een oplossing waarbij je breuken kan vermijden.

WvR
7-4-2020