WisFaq!

Coördinaten berekenen (examenopgave mbo )

Kan iemand mij opweg helpen bij de volgende opgave:

Gegeven zijn de punten A(5,-2) en B (-2,3).

• Bereken de coördinaten x en y van punt C gelegen op een lijn m met als vergelijking 2x-y-4=0 zó dat driehoek ABC rechthoekig is in C.

Ik denk zelf dat ik de vergelijking om moet zetten naar een vectorvoorstelling en dan met de richtingsvector (a,b) cos$\Phi$ moet stellen op 0 alleen weet ik dat niet zeker.

mboudd
21-3-2020

Antwoord

Dat is bijna een plan, maar dan anders. Neem een willekeurig punt C(x,y) op de lijn m. Bepaal de richtingsvectoren van e lijn AC en BC en dan inderdaad de cosinus van de hoek van AC en BC zou dan nul moeten zijn. Er geldt:

$
\begin{array}{l}
AC = \left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{ - 2} \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x - 5} \\
{y + 2} \\
\end{array}} \right) \\
AC = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 2} \\
3 \\
\end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x + 2} \\
{y - 3} \\
\end{array}} \right) \\
\cos \Phi = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x - 5} \\
{y + 2} \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x + 2} \\
{y - 3} \\
\end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x - 5} \\
{y + 2} \\
\end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x + 2} \\
{y - 3} \\
\end{array}} \right)} \right|}} = 0 \\
\end{array}
$

In dat geval weet je in ieder geval:

$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x - 5} \\
{y + 2} \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
{x + 2} \\
{y - 3} \\
\end{array}} \right) = 0 \\
\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \\
\end{array}
$

Dat lijkt vrij hopeloos maar je weet ook nog dat $
2x - y - 4 = 0
$. Daarmee kan je $y$ uitdrukken in $x$. Als je dat dan substitueert in de vergelijking die we gevonden hadden rollen de waarden voor $x$ er zo uit! Daarna nog even de $y$-coördinaten uitrekenen en klaar Klara...

Zou dat lukken!?

WvR
21-3-2020