WisFaq!

Re: Functie van een maximale likelihood estimator

Heel erg bedankt. Maar nu zoeken we dus eigenlijk een $\alpha = g(\theta)$ zodanig dat $L(\theta)$ maximaal is. Waarom hebben we het nog steeds over $L(\theta)$ als we opzoek zijn naar de MLE van een andere aannemelijkheidsfunctie, zeg bv. $M(g(\theta))$ (die dus niet een $\theta$ als input krijgt en er niets mee te maken heeft)? Schijnbaar geldt dat deze "M" gelijk is aan $L(g^{-1})$. Waarom is dat intuïtief gezien logisch?

Marcos
20-1-2020

Antwoord

Je moet het niet moeilijker maken dan het is, en duidelijk blijven met je letters. Is die $M$ nu de schatter of de likelihoodfunctie van $g(\theta)$? En wat betekent $L(g^{-1})$?

De stelling zegt dat als je, bijvoorbeeld, het kwadraat van de parameter wilt schatten een MLE van dat kwadraat krijgt door het kwadraat van een MLE van de parameter zelf te nemen.

Als $g$ injectief (ono-to-one) is dan kun je uit de waarde van $g(\theta)$ ondubbelzinnig $\theta$ bepalen en omgekeerd. En dat betekent dat de kans op de uitkomst gegeven $\theta=\alpha$ gelijk is aan de kans op de uitkomst gegeven $g(\theta)=g(\alpha)$ en omgekeerd: de kans op de uitkomst gegeven $g(\theta)=\beta$ is gelijk aan de kans gegeven $\theta=g^{-1}(\beta)$. De kans is het grootst als $\theta=\hat\theta$, en dus als $g(\theta)=g(\hat\theta)$, dus dan is $g(\hat\theta)$ is een MLE van $g(\theta)$, en per definitie geldt dus $\widehat{g(\theta)}=g(\hat\theta)$.

Waarom zou iets "intuïtief logisch" moeten zijn? Wat dat ook moge betekenen. Het volgt gewoon uit de definities door een deugdelijke redenering (die in het file dat je aanhaalt wel iets beter opgeschreven had mogen worden) en dat is genoeg.

kphart
20-1-2020