WisFaq!

Re: Re: Een vraag over totale afgeleide

Hartelijk dank. Als laatste wil ik weten hoe dit zich vertaald in meerdere dimensies. Oftewel, het verschil tussen:

(1): dx/dt = (partieel x / partieel u) * (du/dt)
+ (partieel x / partieel v) * (dv/dt)
(2): dx = (partieel x / partieel u) * du
+ (partieel x / partieel v) * dv

Is dus niet bij (1) beide kanten met dt vermenigvuldigen (vanwege de suggestieve notatie). Er zit fundamentele verschillen tussen deze vergelijkingen en ze hebben een andere betekenis. Als ik het nu goed begrijp geldt bij (1) dat we de verhouding/snelheid willen weten van: als we t een klein beetje veranderen, hoeveel x dan verandert (dus even voor het intuïtieve gemak bijvoorbeeld dx/dt = 5, dus iets als 5 meter per seconde). Bij (2) willen we iets anders weten, namelijk de (willekeurig richting oneindig) kwantitatieve hoeveelheid die x verandert, dus dx. Hiervoor bekijken we dus hoeveel x toe/afneemt als we u toe/afnemen (dat is dan de eerste term van de som) en we doen hetzelfde voor de tweede term van de som en dan bekijken we, omdat we optellen, de totale toe/afname van x. Omdat dit dus allemaal infinitesimaal is gebruiken we de notatie dx, du etc. Dus (1) geeft ons de verhouding/snelheid, hoeveel x verandert als we aan t schommelen, terwijl (2) een kwantitatieve verandering geeft (dus daadwerkelijke verandering als gevolg van verandering van u en en van v).

Klaas-Jan
20-12-2019

Antwoord

(1) is simpelweg de kettingregel, waarbij $x$ indirect, via $u$ en $v$, een functie van $t$ is; hierbij wordt de afgeleide, $\frac{dx}{dt}$, van $x$ naar $t$ gerelateerd aan de (partiële) afgeleiden van $x$ naar $u$ en $v$, en van $u$ en $v$ naar $t$.
(2) hier wordt inderdaad de verandering in $x$ gerelateerd aan die in $u$ en $v$.

kphart
20-12-2019