WisFaq!

Hoe bereken je deze limiet?

Hoe bereken je deze limiet?

$
\eqalign{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x^2 }}
{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }} - x}
$

Noé Kayoya
15-12-2019

Antwoord

Beste Noé,

Je hebt een uitdrukking van de vorm $a-b$ met:
$$a=\frac{{x^2}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }} \quad\mbox{ en }\quad b = x$$Vervolledig om een merkwaardig product te kunnen gebruiken:
$$a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}=\frac{a^2-b^2}{a+b}$$In de teller valt de vierkantswortel weg en je krijgt:
$$\frac{\frac{{x^4}}{{{x^2 - 3x + 2} }} - x^2}{\left ( \frac{{x^2}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }} + x \right )}
= \frac{\frac{{3x^3-2x^2}}{{{x^2 - 3x + 2} }}}{\left ( \frac{{x^2}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }} + x \right )}$$Je kan een factor $x$ wegdelen, en dus:
$$\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{{x^2}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }}-x\right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{{3x^2-2x}}{{{x^2 - 3x + 2} }}}{\left ( \frac{{x}}{{\sqrt {x^2 - 3x + 2} }} + 1 \right )}=\frac{3}{2}$$want de teller heeft limiet 3 en de noemer limiet 2.

mvg,
Tom

td
16-12-2019