WisFaq!

Dubbel paar

Hoe bereken je de kans op een two pair (dubbel paar) met 5 dobbelstenen?

Marie-Hélène Vandoorne
12-8-2019

Antwoord

Hallo Marie-Hélène,

Worpen met 4 of 5 gelijke uitkomsten (dus bv 3,3,3,3,4 of 5,5,5,5,5) bevatten ook two pair, maar ik ga ervan uit dat je twee verschillende paren wilt, plus nog een laatste uitkomst die ook weer verschilt van één van de paren (dus bv 2,2,3,3,4). De kans om dit in één worp te gooien, kan je volgens twee redeneringen berekenen:

Redenering 1: We tellen het aantal mogelijkheden om two pair te gooien, en delen dit door het totaal aantal mogelijke uitkomsten (kansdefinitie van Laplace):

• Het aantal mogelijkheden om met de eerste twee dobbelstenen gelijke uitkomsten te gooien, is 6 (je gooit enen, tweeën, drieën, ... of zessen).
  
• Het aantal mogelijkheden om met het tweede paar ook gelijke uitkomsten te gooien, is 5 (je mag niet dezelfde uitkomst als bij het eerste paar).
  
• Het aantal overblijvende mogelijkheden voor de laatste dobbelsteen is 4.
  
• We komen op 6·5·4=120 mogelijkheden om in deze volgorde two pair te gooien. Dit aantal moeten we nog vermenigvuldigen met het aantal mogelijke volgordes:
  
• Het aantal mogelijkheden om het eerste paar over 5 posities te verdelen, is het aantal combinaties van 2 uit 5: 5nCr2=10.
  
• Het tweede paar kan nog over 3 posities worden verdeeld. Aantal mogelijkheden: 3nCr2=3.
  
• We lijken uit te komen op een totaal aantal mogelijkheden van 120·10·3=3600.
  Maar: een two pair met 5 en 6 en een two pair met 6 en 5 zijn beide geteld, terwijl dit natuurlijk dezelfde mogelijkheid is. Op deze wijze zijn alle mogelijke two pairs dubbel geteld. Het totale aantal mogelijkheden om two pair te gooien, is dus 3600/2=1800.
  
• Het totaal aantal mogelijke uitkomsten bij een worp met 5 dobbelstenen is 6⁵=7776.
  
• De kans op two pair is 1800/7776=25/108.

Redenering 2: We berekenen de kans op succes voor elke dobbelsteen en passen de productregel toe:

• De eerste dobbelsteen mag elke uitkomst opleveren. Kans op succes is 1.
  
• De tweede dobbelsteen moet dezelfde uitkomst opleveren. Kans op succes is ¹/₆
  
• De derde dobbelsteen moet een andere uitkomst opleveren dan de eerste twee. Kans op succes is ⁵/₆
  
• De vierde dobbelsteen moet dezelfde uitkomst opleveren als de derde. Kans op succes is ¹/₆
  
• De vijfde dobbelsteen moet een andere uitkomst opleveren dan de voorgaande. Kans op succes is ⁴/₆
  
• De kans op two pair in deze volgorde is 1·¹/₆·⁵/₆·¹/₆·⁴/₆
  
• Vermenigvuldigen met het aantal mogelijke volgordes (=10·3, zie redenering 1)
  
• Corrigeren voor dubbeltellingen: delen door 2 (zie redenering 1).

Kijk maar eens of je met redenering 2 op hetzelfde resultaat uitkomt als bij redenering 1.

GHvD
12-8-2019