WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 24 september 2020

Orthogonale hoek

Opgave: Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC met hoek A = 90, en ingeschreven cirkel. Deze cirkel raakt AB in M, BC in N en AC in P. Uit P wordt de loodlijn neergelaten op MN met S het voetpunt. Toon dan aan dat AS orthogonaal is met CS, m.a.w. hoek(ASC) = 90.



Mijn bevindingen: Vooreerst heb ik zo veel mogelijk hoeken bepaald allemaal in functie van de hoek B (gelijk gesteld aan 2a). Voor de overzichtelijkheid heb ik die weggelaten op de tekening.

De bedoeling was om aan te tonen dat AS // NP. Immers, als dat zo is zal AS orthogonaal zijn met CS aangezien NP loodrecht staat op CS.

Nadien probeerde ik aan te tonen dat vierhoek ASOP een koordenvierhoek is. Dit impliceerde dat ik heb getracht dat hoek(POS) + hoek(PAS) = 180. Dan is automatisch ook hoek(ASO) + hoek(APO) = 180. Daar bij gegeven hoek(APO) = 90 volgt meteen hoek(ASO) = 90 en de zaak is rond.

Beide denkpistes hebben bij mij niet geleid tot resultaat. Ofwel pak ik het verkeerd aan, ofwel heb ik iets over het hoofd gezien????

Vraag: Kan u mij een tip geven, zodanig dat ik dan zelf er in kan slagen aan te tonen dat AS en CS een hoek maken van 90? Bedankt jullie tussenkomst!

Yves De Racker
31-7-2019

Antwoord

Beste Yves,

Je idee om te laten zien dat ASOP een koordenvierhoek is, is een goed idee. Ik neem dan wel aan dat je al hebt aangetoond dat CS inderdaad de bissectrice is van hoek C, ofwel dat CS door O gaat.

Om te laten zien dat ASOP een koordenvierhoek is, gebruiken we dat APOM als vierkant ook een koordenvierhoek is. Dan zie je snel dat hoek(MAP) + hoek(PSM) = 180.

Als je meer nodig hebt, dan hoor ik het wel. Succes.

Met vriendelijke groet,

FvL
1-8-2019


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#88334 - Vlakkemeetkunde - Iets anders