WisFaq!

Coördinaten berekenen van punten op cirkel

Hallo,
Ik zou voor een kunstproject moeten kunnen berekenen wat de plaats van een bepaald punt op een cirkel is. Dit omdat ik moeilijk cirkels met een straal van bvb 10 meter kan tekenen.
Aan de hand van een vereenvoudigd voorbeeld illustreer ik mijn berekeningen tot waar ik vastzit. Misschien maak ik fouten in de notatie, maar ik probeer uit te leggen wat ik doe.
Vertrekpunt is een koorde AB met afstand 16. Het middelpunt van de koorde, C, heeft als coordinaten (0,0). Punt D ligt op het raakpunt van de straal die door C gaat en de cirkel. Deze afstand is 4.
Met Pythagoras berekende ik dat de straal 10 is:

r²=8²+(r-4)²
r²=64+r²-8r+16
8r=80
r=10

Ik heb dus volgende punten:
A(0,-8)
B(0,8)
C(0,0)
D(0,4)
M((0,-6)

Hoe bereken je de y coordinaat van punt E op de cirkel als je de x-coördinaat kent?
E(4,y)

De afstand tussen M en E is de straal.
Je berekent
10=√((4-0)²+(y+6)²)
10=√(16+(y+6)²)

Nu zit ik vast. Hoe haal ik y uit de wortel?

Of is er een andere manier om de y-coôrdinaat van E te berekenen voor de verschillende gegeven x-coördinaten

Doordat de straal ook de x-as was, kende ik de coördinaten van middelpunt M. Maar hoe kan ik de coördinaten kennen van M als ik 3 willekeurige punten neem. Ik weet hoe het middelpunt te bepalen met een passer, maar zoals gezegd, dit is praktisch niet haalbaar.
bvb:
A(2,3)
B(3,5)
C(5,2)
M(?,?)

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen
Mvg
Wouter

Wouter
26-7-2019

Antwoord

Hallo Wouter,

Het oplossen van de vergelijking
√(16+(y+6)²)=10 gaat als volgt:

Links en rechts kwadrateren (handiger was dus geweest om geen wortel te trekken):
16+(y+6)²=100
(y+6)²=84
y+6=√84 of y+6=-√84
y=√84-6 of y=-√84-6
y$\approx$3,17 of y$\approx$-15,17

Je kunt de vergelijking van een cirkel door drie gegeven punten (in dit voorbeeld: A(2,3), B(3,5) en C(5,2)) als volgt vinden:

De algemene vergelijking van een cirkel met middelpunt (p,q) en straal r is:
(x-p)²+(y-q)²=r²

Vul nu het eerste gegeven punt A(2,3) in:
(2-p)²+(3-q)²=r²
Haakjes wegwerken:
4-4p+p² + 9-6q+q² = r²
p²-4p + q²-6q +13 = r² (1)

Doe hetzelfde voor het tweede en derde gegeven punt. Je vindt:
p²-6p + q²-10q +34 = r² (2)
en
p²-10p + q²-4q +29 = r² (3)

Het linkerlid van vergelijking (1) is gelijk aan r², het linkerlid van vergelijking (2) is ook gelijk aan r², dus deze twee linkerleden zijn aan elkaar gelijk:

p²-4p + q²-6q +13 = p²-6p + q²-10q +34
-4p -6q +13 = -6p -10q +34
2p +4q = 21 (4)

Op dezelfde wijze kan je de vergelijkingen (1) en (3) combineren. Je vindt:
-4p -6q +13 = -10p -4q +29
6p -2q = 16 (5)

Met vergelijkingen (4) en (5) kunnen we p en q berekenen. Dat kan bv. door in vgl. (5) de variabele q te isoleren:
6p -2q = 16
-2q = -6p +16
q = 3p -8 (6)

Dit resultaat vullen we in vgl (4) in:
2p +4q = 21
2p + 4(3p -8) = 21
2p +12p -32 = 21
14p = 53
p = ⁵³/₁₄ = 3¹¹/₁₄ $\approx$ 3,786

Dit invullen in (6) levert:
q = 3p -8
q = 3·⁵³/₁₄ -8
q = ¹⁵⁹/₁₄ -8
q = 3⁵/₁₄ $\approx$ 3,357

We weten nu het middelpunt M(p,q) van de cirkel:
M(3¹¹/₁₄ , 3⁵/₁₄)

Met afgeronde getallen:
M(3,786 ; 3,357)

De straal r vinden we door één van de gegeven punten (bv A(2,3)) in de algemene vergelijking van de cirkel in te vullen, met de inmiddels gevonden waarden van p en q:

(x-p)² + (y-q)² = r²
(2-3¹¹/₁₄)² + (3-3⁵/₁₄)² = r²
r² $\approx$ 3,316
r $\approx$ 1,82

De vergelijking van de cirkel wordt hiermee (met afgeronde waarden):

(x-3,786)² + (y-3,357)² = 3,316

Voor een willekeurige waarde van x (bv x=4) vind je de twee bijbehorende waarden van y als volgt:

(4-3,786)² + (y-3,357)² = 3,316
0,0459 + (y-3,357)² = 3,316
(y-3,357)² = 3,270
y-3,357 = √3,270 of y-3,357 = -√3,270
y-3,357 = 1,808 of y-3,357 = -1,808
y = 5,079 of y = 1,462

Uiteraard kan je ook een willekeurige waarde voor y invullen en op dezelfde wijze de bijbehorende waarden van x berekenen.

Het is even wat werk, maar dan heb je ook wat

GHvD
26-7-2019