WisFaq!

Re: Re: Re: Vergelijking met machten

mijn calculatie:
z=(-150+-120,57i)
m=z^¹/₃
n=-p/(3m)=100/[3·z^¹/₃]
y=m+n

nog 2 vragen met uw welnemen:
1. hoe kan ik zien dat uw en mijn m en n gelijk zijn?
2. hoe tel ik de complexe m en n op om een reeel y te krijgen. ( y₃+py+q=y³-100y+300 $\Rightarrow$ y=3,39 of y=7,86 of y=-11,25 )

Alvast dank

Jan
7-7-2019

Antwoord

Jouw en mijn $m^3$ en $n^3$ zijn gelijk want voor mijn $m^3$ en $n^3$ geldt $m^3+n^3=-300$ en $27m^3n^3=1000000$. Dat geldt voor jouw $m^3$ en $n^3$ ook en omdat het stelsel slechts een oplossing heeft zijn onze oplossingen natuurlijk hetzelfde.

De manier waarop je $m$ en $n$ zelf bepaalt is via modulus en argument.
Teken $m^3=-150+\frac{50}{9}\sqrt{471}i$ in het complexe vlak; de plaatsvector heeft een lengte (de modulus): $r=\frac{1000}{9}\sqrt3$ en hij maakt een hoek, $\theta$ met de positieve $x$-as. Dan kun je $m^3$ schrijven als
$$r\cos\theta+i\,r\sin\theta
$$Een derdemachtswortel, $m$ dus, is dan gelijk aan
$$\sqrt[3]{r}\cos\frac\theta3+i\,\sqrt[3]r\sin\frac\theta3
$$Die waarden kun je met een rekenmachientje bepalen.
Voor $n^3=-150-\frac{50}{9}\sqrt{471}i$ doe je hetzelfde, je krijgt dan $-\theta$ als hoek en dus
$$n=\sqrt[3]{r}\cos\frac\theta3-i\,\sqrt[3]r\sin\frac\theta3
$$Nu geldt $m+n=2\sqrt[3]r\cos\frac\theta3$ en dat is reëel.

Zie de link hieronder voor een boek waarin alles uitgebreid wordt uitgelegd.

Zie Complexe getallen voor Wiskunde D [https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/#cg]

kphart
7-7-2019