WisFaq!

Oneigenlijke integralen

Beste
Kunt u me helpen bij deze vraag?
Onderzoek voor welke k volgende oneigenlijke integraal convergent is en voor welke k divergent. Maak een schets! k∈IR
het integraal van (1 gedeeld door x^k) van één tot oneindig.

Ik heb de limiet van f van 1 tot p berekend. Dan kom ik
p^(-k+1) - 1 gedeeld door (1-k)

Hier zet ik vast.

Alvast bedankt
Met vriendelijke groeten
Elsa

Elsa
30-4-2019

Antwoord

Beste Elsa,

Je hebt (nog) niet de limiet, maar de integraal van $1$ tot $p$ berekend. Dat is prima en om na te gaan of de oneigenlijke integraal convergeert, wil je hiervan de limiet voor $p\to +\infty$ bepalen.

Merk op dat je berekening enkel geldig is voor $k \ne 1$, het geval $k=1$ moet je apart nagaan en stond in dit antwoord al beschreven.

Om de volgende limiet te berekenen:
$$\lim_{p\to +\infty}\frac{1}{1-k}\left(p^{1-k}-1\right)$$kan je best twee gevallen onderscheiden, wat gebeurt er voor:
- $1-k \,$>$\, 0$, dus voor $k \,$<$\, 1$;
- $1-k \,$<$\, 0$, dus voor $k \,$>$\, 1$.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
30-4-2019