WisFaq!

Re: Re: Poolvergelijking ellips

Hoe komt u aan 1/√(1-e²) ?

Jan
29-12-2018

Antwoord

Ik schreef dat je de reeks aan die voor $1/\sqrt{1-e^2}$ kunt koppelen.
Als je de link volgt zul je zien dat
$$
\frac1{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac12}{n}x^n
$$Vul $x=-e^2$ in, dan komt er dus
$$
\frac1{\sqrt{1-e^2}}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{-\frac12}{n}e^{2n}
$$De reeks die in het antwoord staat lijkt daar nogal veel op, afgezien van de factor $(2n+1)$; als je die reeks termsgewijs primitiveert komt er
$$
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{-\frac12}{n}e^{2n+1} = e\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{-\frac12}{n}e^{2n} = \frac{e}{\sqrt{1-e^2}}
$$Dat laatste moet je dus differentiëren om je uiteindelijke antwoord te krijgen.

kphart
29-12-2018