WisFaq!

Poolvergelijking ellips

Goedenmiddag,
Ik probeer de volgende integraal op te lossen.
$\int{}$(1/(1+acos(x)) dx
Dat kan niet anders dan via de binomiaalreeks.
Uitkomst is een constante · $\int{}$cosⁿ (x) dx.
Via de reductieformule heb ik weer een integraal namelijk $\int{}$cos^n-1 (x) dx.
Wie heeft een volgende suggestie?
Alvast dank.

Jan
9-12-2018

Antwoord

Je kunt, recursief, volledige formules voor $\int\cos^nx\,\mathrm{d}x$ bepalen, maar dat kost wel wat werk. En daar wordt de resulterende reeks ook niet echt mooier van.

Probeer eens een substitutie: $t=\tan\frac x2$. Die geeft
$$
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}
$$Je integraal wordt dan
$$
\int\frac2{(1+a)+(1-a)t^2}\,\mathrm{d}t
$$

kphart
10-12-2018