WisFaq!

Continu uitbreidbare functie

f(x)=(3x^(7/5)-($\pi$/x))·cos(($\pi$/2)-x)

Bereken de limiet voor x$\to$0 en argumenteer hoe de functie continu uitbreidbaar is over heel $\mathbf{R}$.

De limiet voor x$\to$0 van deze functie heb ik reeds berekend en is -$\pi$. Nu loop ik vast bij het argumenteren, ik zie niet zo goed hoe ik hieraan moet beginnen.

Silke Van Gompel
17-10-2018

Antwoord

Beste Silke,

De limiet is alvast correct!

De gegeven functie is gedefinieerd voor alle $x \ne 0$ en je kan het domein uitbreiden tot heel $\mathbb{R}$ door ook aan $f(0)$ een waarde toe te kennen:
$$f(x)=\begin{cases}
\left(3x^{7/5}-\frac{\pi}{x}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
& x \ne 0\\ a & x = 0
\end{cases}$$Door voor deze functiewaarde $f(0)=a$ precies de limiet van $f$ in $0$ te nemen, maak je de functie continu op $\mathbb{R}$. Immers valt dan voor elke $x$, ook in $0$, de functiewaarde samen met de limiet.

mvg,
Tom

td
17-10-2018