WisFaq!

Laplacetransformaties

Beste,

In mijn wiskundeboek staat de volgende opdracht:
'Bepaal de Laplace getransformeerde van de 'trapfunctie' met voorschrift f(t)= k+1 voor k$<$t$<$k+1, met k = 0,1,2,3,...
'Verfraai' het antwoord door gebruik te maken van de som van een oneindige meetkundige reeks.'

Ik maakte gebruik van de stapfunctie van Heaviside. Hieruit krijg ik de volgende formule: f(t)= (k+1)(Hv(k)-Hv(k-1)). Alleen komt hierin al geen t in voor. Ik heb geen idee hoe ik de formule anders moet opstellen. Evenals het 'Verfraaien' van het antwoord.

Ik hoop dat u mij hierbij kan helpen.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin den Boer
4-8-2018

Antwoord

Je formule is inderdaad niet goed: $\mathrm{Hv}(k)-\mathrm{Hv}(k+1)=1-1=0$.
Je kunt $f(t)$ met behulp van $\mathrm{Hv}$ maken.
Met $\mathrm{Hv}(t)$ heb je overal alvast functiewaarde $1$, dus zeker vooir $0\le t $<$ 1$; tel daar $\mathrm{Hv}(t-1)$ bij op dan heb je functiewaarde $2$ voor $t\ge2$. Tel $\mathrm{Hv}(t-2)$ op en je hebt functiewaarde $1$ op $[0,1)$, waarde $2$ op $[1,2)$, en $3$ op $[2,\infty)$. Blijf opgeschoven Heavisidefuncties optellen; je zult zien dat
$$
f(t)=\sum_{k=0}^\infty \mathrm{Hv}(t-k)
$$precies doet wat je wilt.

kphart
4-8-2018