WisFaq!

Re: Vergelijkingen oplossen met formulessymmetrie

Hoi,
Bedankt! De regel van cos(2x) kende ik nog niet, na het toepassen op sommen begrijp ik het.
Ik heb vraag 2 inderdaad correct overgenomen van het boek. Ik kom echter uit op sin(x) = 0 V sin(x) = 1. Klopt dit?
Verder snap ik niet helemaal hoe je tan(x) = sin(x) oplost. Ik begrijp niet helemaal wat ik met die breuk moet doen. Ik heb geprobeerd de noemers gelijk te maken, dan krijg je dit(volgens mijn berekening):
^{sin(x)sin(x)-sin(x)cos(x)}/_sin(x)cos(x)
sin²(x)-1 = 0
sin(x) = -1 V sin(x) = 1

Verder probeer ik de regels steeds toe te passen, lukt heel vaak alleen kwam ik weer een gevalletje tegen waar ik niet uit kwam:
Buigpunten zoeken van f(x) = 2cos(x)-cos(2x)
f'(x) = -2sin(x) + 2sin(2x)
f''(x) = -2cos(x) + 4cos(2x)
f''(x) = 0 oplossen doe ik zo:
-2cos(x) + 4cos(2x) = 0
-2cos(x) + 4(2cos²(x)-1) = 0
-2cos(x) + 8cos²(x)-4 = 0
-2cos(x) + 8cos²(x) = 4
cos(x) - 4cos²(x) = -2
cos(x) + cos²(x) = ¹/₂
cos(x)(1+cos(x))
cos(x) = ¹/₂ V cos(x) = -¹/₂
Echter bevinden de buigpunten zich op andere punten.

Alvast bedankt!

Tobias
29-6-2018

Antwoord

Hallo Tobias,

Je antwoord bij vraag 2 klopt niet:
2cos²(x)-2sin(x)=0
cos²(x)-sin(x)=0

Met sin²(x)+cos²(x)=1, dus cos²(x)=1-sin²(x) wordt dit:

-sin²(x)-sin(x)+1=0
sin²(x)+sin(x)-1=0

Invullen van sin(x)=-1 of sin(x)=1 laat snel zien dat dit geen juiste oplossingen zijn.

Dan:
tan(x)=sin(x)
^sin(x)/_cos(x)= sin(x)
Met inzicht:
sin(x)=0, want dan staat er: 0/cos(x)=0, dus 0=0 (voor cos(x) ongelijk 0).
Of cos(x)=1, want dan staat er: sin(x)/1=sin(x), dit is juist voor elke waarde van sin(x).

Of:
Schrijf sin(x) als ^sin(x)/₁ en kruislings vermenigvuldigen:
1·sin(x)=sin(x)·cos(x)
sin(x)-sin(x)·cos(x)=0
sin(x)(1-cos(x))=0
sin(x)=0 of 1-cos(x)=0
sin(x)=0 of cos(x)=1

Tot slot buigpunten:
Tot en met hier gaat het goed:
cos(x)-4cos²(x)=-2

Maar bij delen door 4 vergeet je cos(x) te delen door 4. Verder ontbreekt in de volgende regel het rechterlid. Ik neem aan dat hier nog hoort te staan: =¹/₂. Je vergelijking heeft dan deze vorm:

A·B=¹/₂

Maar dan zijn de oplossingen toch niet A=¹/₂ of B=¹/₂? ¹/₂ keer 'iets' is toch niet automatisch gelijk aan ¹/₂?
Deze 'truc' werkt alleen bij een rechterlid gelijk aan 0:

A·B=0 levert: A=0 of B=0 (want 0 keer 'iets' is wel altijd gelijk aan 0).

Dus:

• vergelijking herleiden op nul (links en rechts ¹/₂ aftrekken, zodat rechterlid nul wordt)
  
• Stel cos(x)=p, los de kwadratische vergelijking op
  
• Je weet nu de waarde van p, dus de waarde van cos(x)
  
• x=cos^-1(p) + k·2$\pi$ enz.

GHvD
1-7-2018