WisFaq!

Re: Richtingsafgeleiden

Beste, ik denk dat ik gewoon niet goed uikan aan de impliciete functiestelling. Ik heb de Jacobiaan opgeschreven, en gecontroleerd dat de 2X2-matrix die bij de kolommen D_x en D_y inderdaad inverteerbaar is. Maar ik snap niet hoe ik hiermee bewezen heb dat het stelsel voor waarden van u en v dicht genoeg bij u^* resp. v^*, een unieke oplossing (x,y) in de buurt van ( x^*,y^*) heeft.

Voor b) met de formule die je gegeven hebt kom ik als ik juist gerekend heb uit dat het positief is, maar uit de definitie dvoor de impliciete functiestelling die in mijn boek staat kan ik deze formule niet zelf uithalen, hoe ben je hieraan gekomen. Als de formule positief uitkomt betekent dit dan dat de grootheid x zal stijgen?

Lotte
3-6-2018

Antwoord

Lees de formulering van de stelling nog eens goed: de functie moet continue partiële afgeleiden hebben (dat heeft hij want dat is gegeven van $f$ en $g$) en in het punt waar je geinteresseerd bent moet de genoemde matrix inverteerbaar zijn. Dan garandeert de stelling dat $x$ en $y$ impliciet als functies van $u$ en $v$ gegeven zijn (de stelling geeft geen formule voor die impliciete functie).
De stelling geeft ook een formule voor de matrix van partiele afgeleiden:
$$
\left(\begin{array}{cc} x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{array}\right) =
-\left(\begin{array}{cc}D_xF_1 & D_yF_1\\ D_xF_2 & D_yF_2\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{cc} D_uF_1 & D_vF_1\\ D_uF_2 & D_vF_2\end{array}\right)
$$ en daarvan heb ik vorige keer $x_u$ uitgerekend.

En ja, een positieve partiele afgeleide betekent stijgend in de bijbehorende richting

Zie Wikipedia: Implicit Function Theorem [https://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem]

kphart
3-6-2018