WisFaq!

Omhullende bepalen van een schaar rechten

Ik ben al een tijdje bezig met de vraag in hoeverre het in de vlakke meetkunde mogelijk is, om een omhullende te bepalen van een schaar rechten. Via de analyse is dit natuurlijk veel eenvoudiger; het volstaat immers de parameter k te elimineren uit het stelsel F(x,y,a)=0 én
dF(x,y,a)/dk, met F(x,y,k)=0 het functievoorschrift van de schaar rechten (of krommen).



Concreet koppel ik mijn vraag aan volgende oefening: Gegeven is een vaste cirkel (O) en een vast punt A. Door A brengt men een variabele cirkel (C) aan die (O) orthogonaal snijdt. Noem M en N de snijpunten van beide cirkels. Trek dan de halfrechten AM resp.AN, die (O) snijdt in M' resp. N'. Zoek dan de omhullende van de rechten MN resp. M'N'.

In mijn bescheiden poging om tot een oplossing te komen, begon ik met de poollijn 'pA' van A te bepalen, en koos hierop het punt X (toegevoegd aan A t.o.v. (O)). Ik probeerde via een gepaste inversie tot een oplossing te komen en dan was het ook logisch als inversiecirkel de cirkel (O) te kiezen. Ik zocht ook naar de meetkundige plaats 'mp1' van de middelpunten van de cirkels die (O)
loodrecht snijden.

Het is ook direct duidelijk dat als X op 'pA' varieert de stand van de rechten MN resp. M'N' ook varieert.
Het valt op dat M'N' steeds door O1 gaat ,wat er op wijst dat de omhullende bij de schaar rechten M'N', een puntcirkel of nulcirkel zal zijn; m.a.w. het punt 'O1' is hier volgens mij de omhullende van de schaar rechten M'N'.

Mijn uiteindelijke vraag bestaat uit 2 delen: 'Waarom gaat M'N' steeds door 'O1' en anderzijds een tip om binnen de gewone meetkunde de omhullende van MN te bepalen of is dit te omslachtig? Dank voor de hulp!

Jan Heyndrikx
8-3-2018

Antwoord

Hallo Jan,

Voor je eerste vraag:
Merk op dat in jouw figuur $\angle MN'M'= \angle M'MO_2$ (constante hoekstelling met raaklijn $MO_2$) en dat $\angle MN'M'=\angle N'MO_1$ (gelijkbenige driehoek). Verder is $\angle O_1MO_2 = 90^{\circ}$ vanwege het loodrechte snijden van de twee cirkels. Maar combineren we dit alles, dan is ook $\angle N'MM' = 90^{\circ}$ en dus gaat $M'N'$ door $O_1$ (Stelling van Thales).

Voor je tweede vraag de volgende schets van een redenering:
Merk op dat $O_1O_2MN$ een koordenvierhoek is. Het beeld van $(O_1O_2MN)$ bij inversie in $(O_1)$ is de lijn $MN$.
$AA'$ snijdt de cirkel $(O_1O_2MN)$ in een tweede punt naast $O_1$ en dat is het midden $P$ van $AA'$. De inverse van $P$ ligt dus telkens op $MN$. Ook hier is de omhullende dus een puntcirkel.

Met vriendelijke groet,

FvL
10-3-2018