WisFaq!

Re: Bijzondere constructie rechthoekige driehoek met gegeven oppervlakte

Vooreerst bedankt voor de tip, maar toch slaag ik er niet in de oplossing volledig af te ronden.
Mijn gedachtegang:
Je vertrekt van een inversie en je kiest voor een inversiecirkel die straal 1. Op het einde stelt u voor een rotatie te doen van P', hetgeen het punt P" oplevert. Ik verkoos de tegenwijzerzin (zie ook mijn bijgaande afbeelding). Het punt P' varieert dus op de beeldcirkel (R') van de rechte r onder de inversie (A, 1²=1), zie rode cirkel op de figuur; het punt P" varieert ook op een beeldcirkel van de rechte s (groene cirkel). De rechte s is het beeld van de rechte r onder een positieve rotatie over 90°. Deze rotatie zal dus zeker zorgen voor een rechte hoek in A.
Ik kan nu op r aan een punt B aanwijzen met AB.AB' = 1 (1) en op de cirkel (K) aan een punt C, met AC.AC' = 1 (2). Maar dan mis ik blijkbaar de nodige kennis om verder te kunnen.

VRAAG: Hoe slaag ik er nu in, uit (1) en (2) af te leiden, dat AB' = AC ? Als dit lukt volgt uit (1) dat AB.AC = 1, met hoek A = 90°, (product van de rechthoekszijden gelijk aan 1 en bijgevolg is de oppervlakte van de driehoek(ABC) = 1/2 m²).

Yves De Racker
10-10-2017

Antwoord

Hallo Yves,

Goed bezig! Helaas komt je plaatje niet automatisch door, maar ik denk dat je zonder het plaatje ook kunt helpen.

Je hebt dus rechte $s$, beeldcirkel $(R')$ na inversie ($A$,1) en de geroteerde beeldcirkel $(R'')$.

Neem een snijpunt $T$ van $(R'')$ en de gegeven cirkel $(K)$.
Roteer $T$ terug naar $T'$ op $(R')$. Pas inversie ($A$,1) toe op $T'$, dan krijg je $T''$ op $s$.

Dan is $TAT''$ rechthoekig in $A$ met $AT\cdot AT''=1$. $T$ ligt op $(K)$ en $T''$ op $s$. Zoals gewenst!

Met vriendelijke groet,

FvL
10-10-2017