WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 16 april 2021

Korte methode oplossen DV`s

Dag Klaas Pieter,
Ik zie hier een oplossing van een DV die mij toch wat moeilijkheden berokkent.
(2D2+2D+3)y= x2+2x-1
De complementaire functie baart weinig zorgen en is met wortels uit de linkse vergelijking :-1/2+5i/2 en -1/2-5i/2
Dus er komt dan y= e-1/2x(C1cos√5/2+sin√5/2
De particuliere integraal (PI)wordt via directe deling opgelost en is:
y=(1/(2D2+2D+3))(x2+2x-1)
y= (1/3-2/9D-2/27D2)(x2+2x-1)
y= 1/3(x2+2x-1)-2/9(2x+2)-(2/27)2 uitwerken van D en D2 als eerste en tweede afgeleide van het tweede lid.
y= 1/3x2+(2/9)x-25/27( dit is dan de P.I.
Men schrijft daarbij dat:
1/(2D2+2D+3(=((1/3-(2/9)D-(2/27)D2+..........)) door directe deling tot stand komt...?)).DIt gedeelte begrijp ik niet goed ?()
Oplossing DV:
e-x/2(C1cos√5/2+csin√5/2)+1/x2+2/9x-25/27
Hoe voert men die deling uit zodat
1/(2D2+2D+3)= (1/3+(2/9)D-(2/27)D2
IK begrijp wel dat de termen van de reeks moeten afgebroken worden na de term in de tweede macht omdat in Q, tweede lid, geen hogere macht dan twee voorkomt
In de theorie zie ik , toepasbaar op deze opgave dat:
Als Q van de vorm xn is dan geldt:dan
y=(1/f(D))xn=(a(0)+a(1)D+a(2)D2.....a(n)Dn)xn en a(0)niet NUL (0,1,2,...n indexnotaties)
.De termen worden bekomen door expansie van 1/F(D) met stijgende machten van x en weglaten van termen die Dn overstijgen daar Dnx=0 is.
De reeksontwikkeling door directe deling (zie ) vraagt wel wat uitleg.
Graag een passend antwoord zo daar de tijd beschikbaar voor zou zijn. Waarvoor oprechte dank. De rest van de berekeningen snap ik goed .Geen probleem.
Groetjes
Rik

Rik Lemmens
18-5-2017

Antwoord

Beste Rik,
ik zat nog over een antwoord na te denken maar je hebt het zelf al gevonden. Toch nog een paar opmerkingen.
1. Ik neem aan dat de tekst iets als `direct division' bevatte; als je dat als `staartdeling' had vertaald was je misschien nog eerder achter de juiste oplossing gekomen.
2. Een alternatieve methode (die eigenlijk op de staartdeling neerkomt, maar wat makkelijker is qua boekhouding) is als volgt: werk in het rechterlid van vermenigvuldiging
$$
1 = (3+2D+2D^2)(a_0+a_1D+a_2D^2+\cdots)
$$
uit, je krijg een rij vergelijkingen waaruit je achtereenvolgens $a_0$, $a_1$, $a_2$, ... oplost.
3. De methode is wel beperkt toepasbaar; als je $e^x$, $\sin x$, etc rechts hebt staan zou je de deling oneindig lang voort moeten zetten.

kphart
20-5-2017


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#84438 - Differentiaalvergelijking - Iets anders